Las matemáticas del backgammon: probabilidad, equity y el cubo

Por qué las matemáticas importan a un jugador de backgammon

El backgammon es, formalmente, un juego estocástico de suma cero para dos jugadores, con información perfecta y asimetría imperfecta de equity bajo una palanca de apuesta ajustable. La descripción, aparatosa, importa porque cada cláusula corresponde a una rama distinta de las matemáticas del juego:

• Dos jugadores, suma cero. Se aplica la teoría de juegos estándar. Siempre existe una estrategia óptima bien definida para cada jugador en cada posición. La equity se conserva entre los dos bandos.
• Estocástico. Los 36 resultados equiprobables de dos dados de seis caras introducen una distribución de probabilidad sobre las jugadas. La mayoría de las posiciones admiten varias jugadas legales por resultado de los dados.
• Información perfecta. El estado completo del tablero es visible para los dos jugadores. No hay cartas ocultas ni valores privados.
• Asimetría imperfecta de equity bajo una palanca de apuesta ajustable. El cubo doblador convierte cada posición en una decisión de equity sin límite, superponiendo un segundo problema completo de teoría de juegos al problema de la selección de jugada.

Esta página cubre el aparato matemático que los jugadores de competición usan para manejar esa maquinaria: pip counts, fórmulas de equity de carrera, tablas de match equity, la fórmula de cubo de Janowski y los atajos heurísticos (Neil's Numbers) que comprimen las matemáticas formales del backgammon en cálculos mentales ante el tablero.

Recuento de posiciones y espacio de estados

El número de posiciones legales de backgammon es del orden de $1.85 \times 10^{19}$: se calcula como el número de maneras de distribuir 30 fichas entre las ubicaciones jugables (24 puntos, 2 bandejas de salida, 2 posiciones de barra) con la restricción de 15 por bando y la de no ocupación mixta, con las correcciones oportunas para las configuraciones superpuestas inválidas. Es un número lo bastante grande para que la resolución por fuerza bruta mediante tablas sea inviable para el juego completo; y lo bastante pequeño para que las posiciones de carrera pura (sin contacto) admitan bases de datos de bearoff completas.

Las bases de datos de bearoff almacenan equities exactas para las posiciones de la fase de carrera; GNU Backgammon genera y distribuye la suya, y eXtreme Gammon tiene la suya propia. Se construyen por programación dinámica sobre el estado recursivo del bearoff.

Pip counts

El pip count es la métrica fundamental de toda posición de backgammon. Es la suma, para todas las fichas de un jugador, de los pips que cada ficha debe recorrer para llegar a la bandeja de salida. Formalmente:

$\text{Pip count} = \sum_{i=1}^{15} d_i$

donde $d_i$ es la distancia (en pips) desde el punto actual de la ficha $i$ hasta la bandeja de salida de ese jugador.

El pip count inicial es 167 para cada jugador:

$2 \times 24 + 5 \times 13 + 3 \times 8 + 5 \times 6$

$= 48 + 65 + 24 + 30 = 167$

La tirada media en backgammon avanza al jugador 8⅙ pips por turno (la esperanza sobre las 21 tiradas distintas, ponderada según la convención de los dobles, que cuenta cada doble cuatro veces). El número esperado de turnos para llevar todas las fichas a casa y sacarlas desde la posición inicial es, por tanto, aproximadamente $167 / 8.17 \approx 20.4$ turnos.

En una carrera pura, la ventaja en pip count se traduce directamente en una probabilidad de victoria. Se han publicado varias aproximaciones de forma cerrada. Las dos más citadas son el Thorp Count y el Keith Count.

El Thorp Count y el Keith Count

El Thorp Count (Edward Thorp, 1978) parte del pip count bruto y lo ajusta por las cosas que un recuento simple ignora: añade una penalización por cada ficha que sigue en el tablero (más fichas significa más desperdicio en el bearoff), una penalización por las fichas ya amontonadas en el punto 1 y un crédito por cada punto de la casa ocupado; el recuento ajustado del líder se infla después en una décima parte antes de comparar los dos bandos. La comparación, no los pips brutos, decide el doble, el redoble y la aceptación.

El Keith Count (Tom Keith) es un refinamiento posterior de la misma idea. Añade al pip count por las fichas sobrantes en los puntos 1, 2 y 3 y por los huecos en los puntos 4, 5 y 6 (exactamente las formas que desperdician pips en el bearoff) y vuelve a inflar el recuento del líder en una fracción fija antes de comparar. El Keith Count es la fórmula manual de equity de carrera recomendada en el juego de competición moderno; los valores exactos de ajuste y los umbrales de decisión están en las fórmulas publicadas.

Para una equity de carrera muy precisa, los jugadores recurren a la base de datos de bearoff de un motor, pero tanto Thorp como Keith siguen siendo herramientas mentales canónicas.

Equity de carrera y la regla 8-9-12

Las reglas estándar de cubo en carrera se aplican cuando los dos bandos están sin contacto. La muy citada regla 8-9-12 para el líder de una carrera resume décadas de análisis de rollouts en tres umbrales:

• Doble inicial: ventaja de carrera del líder ≥ 8 % de su pip count.
• Redoble: ventaja de carrera del líder ≥ 9 % de su pip count.
• Rechazo: ventaja de carrera del líder superior al 12 % de su pip count: el receptor debe pasar.

Estos umbrales son aproximaciones. Las tablas exactas de equity de carrera (Snowie, GNUbg, XG) los refinan posición por posición, teniendo en cuenta el desperdicio, los cruces y la suavidad de la estructura de bearoff.

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Equity del cubo: el take point

El resultado más citado de las matemáticas del backgammon es el take point con cubo muerto del 25 %. Formalmente:

Para un jugador al que se le ofrece un cubo de valor $C$, aceptar gana $+2C$ puntos y perder cuesta $-2C$ puntos; rechazar cuesta $-C$ puntos incondicionalmente. Igualando el valor esperado de aceptar a la pérdida por rechazar:

$p \cdot (+2C) + (1-p) \cdot (-2C) = -C$ $2pC - 2C + 2pC = -C$ $4pC - 2C = -C$ $p = \frac{1}{4} = 25\%$

Así que el receptor debe aceptar con cualquier probabilidad de victoria $p \geq 25\%$, ignorando el valor del recube.

Con el recube vigorish, el valor que tiene para el receptor poder redoblar, el take point práctico baja a aproximadamente el 21–22 % en la mayoría de las posiciones. La reducción exacta depende de la eficiencia del cubo en los puntos de giro posteriores y se calcula por rollout en el análisis moderno con motores.

El double point correspondiente para el que dobla, la equity a la que doblar es correcto, depende de la eficiencia del cubo (timing) y de los precios del gammon, y se trata en detalle en la página de match equity.

Match equity

En el juego por partidas, la simple equity por dinero deja paso a la match equity: la probabilidad de ganar la partida desde la posición actual, integrando el resultado del juego en curso con todos los juegos posteriores en todos los marcadores alcanzables. La match equity en cualquier marcador se calcula a partir de la tabla de match equity (MET), una tabla bidimensional indexada por los puntos que le faltan a cada jugador.

El estándar moderno es la MET de Rockwell-Kazaross, reproducida como núcleo de 9×9 en la página de match equity, con la tabla canónica completa de 25×25 disponible a través de GNU Backgammon.

El take point, el double point y el precio del gammon dependen del marcador, no solo de las probabilidades de victoria del juego en curso. Una probabilidad de victoria del 22 % que en el juego por dinero es un rechazo puede ser una aceptación clara en ciertos marcadores de partida; una posición al 50 % puede ser "demasiado buena para doblar" en otros.

Las fórmulas de Janowski

La MET completa es exacta (dentro de la precisión de los rollouts usados para derivarla) pero difícil de memorizar. Las aproximaciones de forma cerrada al estilo Janowski, derivadas del trabajo de Rick Janowski y refinamientos posteriores, ofrecen aproximaciones útiles que ajustan la tabla con un error de alrededor del 1–2 % en la mayoría de las celdas. Hacen falta dos fórmulas distintas: una para los marcadores normales pre-Crawford y otra para los marcadores del juego Crawford.

Pre-Crawford (ambos jugadores a ≥ 2-away, cubo en juego):

$M = 0.5 + 0.87 \times \frac{D}{T + 6}$

Específica de Crawford (un jugador a 1-away, cubo fuera):

$M = 0.525 + 0.57 \times \frac{D}{T + 2}$

En ambas, $D$ es la ventaja del líder en puntos (puntos que le faltan al que va por detrás menos los que le faltan al líder) y $T$ son los puntos que le faltan al que va por detrás. La derivación completa, el ejemplo resuelto y el error habitual que hay que evitar (usar los puntos que le faltan al líder como $T$) están en la página de match equity.

Equity por red neuronal

Los motores modernos no calculan la equity con fórmulas de forma cerrada. Usan redes neuronales entrenadas que toman un vector de posición (normalmente unas 250 características que codifican el número de fichas por punto, la distancia al bearoff, la exposición a tiros directos e indirectos, la estructura de primes, las anclas, los builders y más) y devuelven un valor de equity o una distribución sobre los resultados victoria/gammon/backgammon.

El linaje desde TD-Gammon (Tesauro, 1992), pasando por Jellyfish, Snowie, GNU Backgammon, eXtreme Gammon (XG), BGBlitz y Wildbg, se trata en la página de Bots e IA. El estándar de referencia en 2026 son los rollouts de XG2, que combinan búsqueda hacia delante a varios plies con evaluación neuronal en las hojas y muestreo Monte Carlo de los dados en el horizonte de truncamiento.

Varianza

Un solo juego de backgammon tiene una desviación típica de aproximadamente 1,2 puntos por juego en el resultado (juego por dinero, sin Jacoby). A lo largo de una partida a 7 puntos la varianza se acumula y el error estándar de la medición de habilidad es del orden de 2,5–3,0 puntos por partida, lo que significa que las partidas cortas individuales no separan de forma fiable diferencias pequeñas de habilidad. La herramienta estándar de separación es el Performance Rating (PR), que mide el error por jugada frente a un bot de referencia. Incluso a lo largo de una partida completa el PR varía varios puntos; un PR estable necesita muchas partidas, unos cuantos miles de decisiones, antes de separar a los jugadores con fiabilidad. Consulta PR y Elo.

Ver también

• Regla de Crawford: la suspensión del cubo en el juego por partidas.
• Bots e IA: el linaje de los motores de red neuronal.
• Glosario: definiciones formales de pip count, take point, precio del gammon, MET.