De wiskunde van backgammon: kansen, equity en de cube

Waarom wiskunde ertoe doet voor een backgammonspeler

Backgammon is, formeel, een stochastisch nulsomspel voor twee spelers met volledige informatie en een imperfecte equity-asymmetrie onder een instelbare inzethefboom. De onhandige omschrijving doet ertoe, omdat elk onderdeel overeenkomt met een eigen tak van de wiskunde van het spel:

• Twee spelers, nulsom. De standaardspeltheorie geldt. Er is in elke positie voor elke speler een welomschreven optimale strategie. Equity blijft behouden over de twee kanten.
• Stochastisch. De 36 even zware uitkomsten van twee zesvlakkige dobbelstenen leggen een kansverdeling over de zetten. De meeste posities laten per worp meerdere legale zetten toe.
• Volledige informatie. De hele bordstand is voor beide spelers zichtbaar. Er zijn geen verborgen kaarten, geen privéwaarden.
• Imperfecte equity-asymmetrie onder een instelbare inzethefboom. De verdubbelaar maakt van elke positie een equity-beslissing zonder limiet, en legt zo een compleet tweede speltheoretisch probleem boven op het probleem van de zetkeuze.

Deze pagina behandelt het wiskundige gereedschap dat competitieve spelers gebruiken om die machinerie te hanteren: pipcounts, formules voor race-equity, match-equity-tabellen, de Janowski-cubeformule en de vuistregels (Neil's Numbers) die de formele backgammonwiskunde samenpersen tot hoofdrekenwerk aan het bord.

Aantal posities en toestandsruimte

Het aantal legale backgammonposities is in de orde van $1{,}85 \times 10^{19}$ — te berekenen als het aantal manieren om 30 stenen te verdelen over de speelbare plekken (24 punten, 2 uitspeelladen, 2 barposities) onder de voorwaarde van 15 per kant en zonder gemengde bezetting, met de nodige correcties voor ongeldige overlappende configuraties. Dat getal is groot genoeg om een brute-force-oplossing met een opzoektabel voor het hele spel onhaalbaar te maken; het is klein genoeg om voor pure raceposities (zonder contact) complete bearoff-databases mogelijk te maken.

Bearoff-databases slaan exacte equity's op voor posities in de racefase; GNU Backgammon genereert en levert zijn eigen database, en eXtreme Gammon heeft er een van zichzelf. Ze worden gebouwd met dynamisch programmeren over de recursieve uitspeeltoestand.

Pipcounts

De pipcount is de basismaat van elke backgammonpositie. Het is de som, over alle stenen van een speler, van de pips die elke steen nog moet afleggen om de uitspeellade te bereiken. Formeel:

$\text{Pipcount} = \sum_{i=1}^{15} d_i$

waarbij $d_i$ de afstand (in pips) is van het huidige punt van de $i$-de steen tot de uitspeellade van die speler.

De pipcount bij de start is 167 voor elke speler:

$2 \times 24 + 5 \times 13 + 3 \times 8 + 5 \times 6$

$= 48 + 65 + 24 + 30 = 167$

De gemiddelde worp in backgammon brengt een speler 8⅙ pips per beurt vooruit (de verwachting over de 21 verschillende worpen, gewogen volgens de doubletconventie, die elk doublet vier keer telt). Het verwachte aantal beurten om vanuit de beginopstelling alle stenen thuis te brengen en uit te spelen is dus ongeveer $167 / 8{,}17 \approx 20{,}4$ beurten.

In een pure race vertaalt de voorsprong in pipcount zich direct in een winkans. Er zijn verschillende gesloten benaderingsformules gepubliceerd. De twee meest geciteerde zijn de Thorp Count en de Keith Count.

De Thorp Count en de Keith Count

De Thorp Count (Edward Thorp, 1978) vertrekt van de ruwe pipcount en corrigeert die voor wat een gewone telling negeert: hij telt een straf bij voor elke steen die nog op het bord staat (meer stenen betekent meer wastage bij het uitspelen), een straf voor stenen die al op het 1-punt zijn opgestapeld, en een krediet voor elk bezet thuisbordpunt; de gecorrigeerde telling van de leider wordt daarna met een tiende verhoogd voordat de twee kanten worden vergeleken. De vergelijking, niet de ruwe pips, beslist over verdubbelen, herverdubbelen en aannemen.

De Keith Count (Tom Keith) is een latere verfijning van hetzelfde idee. Hij telt bij de pipcount op voor overtollige stenen op het 1-, 2- en 3-punt en voor lege plekken op het 4-, 5- en 6-punt — precies de vormen die pips verspillen bij het uitspelen — en verhoogt opnieuw de telling van de leider met een vaste fractie voordat hij vergelijkt. De Keith Count is de aanbevolen handmatige formule voor race-equity in het moderne competitieve spel; de exacte correctiewaarden en beslisdrempels staan in de gepubliceerde formules.

Voor heel precieze race-equity vertrouwen spelers op de bearoff-database van een engine, maar zowel Thorp als Keith blijven canonieke hulpmiddelen voor het hoofd.

Race-equity en de 8-9-12-regel

De standaardregels voor cube-beslissingen in de race gelden wanneer beide kanten uit contact zijn. De veel geciteerde 8-9-12-regel voor de leider van een race vat decennia van rollout-analyse samen in drie drempels:

• Eerste verdubbeling: racevoorsprong van de leider ≥ 8% van zijn pipcount.
• Herverdubbeling: racevoorsprong van de leider ≥ 9% van zijn pipcount.
• Weigeren: racevoorsprong van de leider boven 12% van zijn pipcount — de ontvanger moet passen.

Deze drempels zijn benaderingen. Exacte race-equity-tabellen (Snowie, GNUbg, XG) verfijnen ze positie voor positie, met inachtneming van wastage, crossovers en de gelijkmatigheid van de uitspeelstructuur.

De deuren gaan bijna open — de uitnodigingslijst gaat als eerste open.

Ontvang je uitnodiging

Cube-equity: het take point

Het meest geciteerde resultaat in de backgammonwiskunde is het dead-cube take point van 25%. Formeel:

Voor een speler die een cube op waarde $C$ krijgt aangeboden, levert aannemen bij winst $+2C$ punten op en kost het bij verlies $-2C$ punten; weigeren kost onvoorwaardelijk $-C$ punten. Stel de verwachte waarde van aannemen gelijk aan het verlies bij weigeren:

$p \cdot (+2C) + (1-p) \cdot (-2C) = -C$ $2pC - 2C + 2pC = -C$ $4pC - 2C = -C$ $p = \frac{1}{4} = 25\%$

De ontvanger moet dus aannemen bij elke winkans $p \geq 25\%$, als we de recube-waarde buiten beschouwing laten.

Met recube-vigorish — de waarde die de ontvanger ontleent aan de mogelijkheid om te herverdubbelen — daalt het praktische take point in de meeste posities tot ongeveer 21–22%. De exacte verlaging hangt af van de cube-efficiëntie op latere beslismomenten en wordt in moderne engine-analyse met rollouts berekend.

Het bijbehorende double point voor de verdubbelaar — de equity waarbij verdubbelen juist is — hangt af van cube-efficiëntie (timing) en gammonprijzen, en wordt in detail behandeld op de match-equity-pagina.

Match equity

In matchplay maakt de simpele geld-equity plaats voor match equity: de kans om de match te winnen vanuit de huidige positie, waarbij de uitkomst van de huidige partij wordt geïntegreerd met alle volgende partijen bij alle bereikbare scores. De match equity bij elke score wordt berekend uit de match-equity-tabel (MET), een tweedimensionale tabel geïndexeerd op de away-scores van beide spelers.

De moderne standaard is de Rockwell-Kazaross-MET, die als 9×9-kern is weergegeven op de match-equity-pagina, met de volledige canonieke 25×25-tabel beschikbaar via GNU Backgammon.

Take point, double point en gammonprijs hangen allemaal af van de score, niet alleen van de winkansen in de huidige partij. Een winkans van 22% die in het geldspel een weigering is, kan bij bepaalde matchscores een duidelijke take zijn; een positie met 50% winkans kan bij andere scores "te goed om te verdubbelen" zijn.

De Janowski-formules

De volledige MET is exact (binnen de rollout-precisie waarmee hij is afgeleid) maar onhandig om te onthouden. De gesloten benaderingen in Janowski-stijl, afgeleid uit het werk van Rick Janowski en latere verfijningen, geven bruikbare benaderingen die de tabel in de meeste cellen tot op ongeveer 1–2% benaderen. Er zijn twee verschillende formules nodig — één voor normale pre-Crawford-scores en één voor Crawford-partijscores.

Pre-Crawford (beide spelers ≥ 2-away, cube in het spel):

$M = 0{,}5 + 0{,}87 \times \frac{D}{T + 6}$

Crawford-specifiek (één speler op 1-away, cube uit het spel):

$M = 0{,}525 + 0{,}57 \times \frac{D}{T + 2}$

In beide is $D$ de voorsprong van de leider in punten (away-score van de achterstaande speler min away-score van de leider) en $T$ de away-score van de achterstaande speler. De volledige afleiding, het uitgewerkte voorbeeld en de veelgemaakte fout die je moet vermijden (de away-score van de leider als $T$ nemen) staan op de match-equity-pagina.

Equity uit neurale netwerken

Moderne engines berekenen equity niet met gesloten formules. Ze gebruiken getrainde neurale netwerken die een positievector als invoer nemen — doorgaans ±250 kenmerken die het aantal stenen per punt, de afstand tot het uitspelen, blootstelling aan directe en indirecte schoten, primestructuur, ankers, builders en meer coderen — en een equity-waarde of een verdeling over winst/gammon/backgammon als uitvoer geven.

De lijn van TD-Gammon (Tesauro, 1992) via Jellyfish, Snowie, GNU Backgammon, eXtreme Gammon (XG), BGBlitz en Wildbg wordt behandeld op de pagina Bots en AI. De referentiestandaard anno 2026 zijn XG2-rollouts, die vooruitzoeken over meerdere plies combineren met evaluatie van de bladposities door een neuraal netwerk en Monte Carlo-steekproeven van de dobbelstenen aan de afkaphorizon.

Variantie

Eén backgammonpartij heeft een standaardafwijking van ongeveer 1,2 punt per partij op de resulterende score (geldspel, zonder Jacoby). Over een match tot 7 punten stapelt de variantie zich op en ligt de standaardfout van de vaardigheidsmeting in de orde van 2,5–3,0 punten per match — wat betekent dat afzonderlijke korte matches kleine verschillen in vaardigheid niet betrouwbaar scheiden. Het standaardinstrument om dat wel te doen is de Performance Rating (PR), die de fout per zet meet tegen een referentiebot. Zelfs over een hele match varieert de PR nog met meerdere punten; een stabiele PR vraagt veel matches — enkele duizenden beslissingen — voordat hij spelers betrouwbaar scheidt. Zie PR en Elo.

Zie ook

• Crawford-regel — opschorting van de cube in matchplay.
• Bots en AI — de lijn van neurale-netwerkengines.
• Woordenlijst — formele definities van pipcount, take point, gammonprijs, MET.