Backgammons matematik: sandsynlighed, equity og dobleterningen

Hvorfor matematik betyder noget for en backgammonspiller

Backgammon er, formelt set, et stokastisk nulsumsspil for to spillere med fuld information og ufuldkommen equity-asymmetri under en justerbar indsatsløftestang. Den uhåndterlige beskrivelse betyder noget, fordi hvert led svarer til en særskilt gren af spillets matematik:

• Nulsumsspil for to spillere. Standardspilteorien gælder. Der findes altid en veldefineret optimal strategi for hver spiller i hver stilling. Equity er bevaret på tværs af de to sider.
• Stokastisk. De 36 ligevægtede udfald af to sekssidede terninger lægger en sandsynlighedsfordeling over trækkene. De fleste stillinger tillader flere lovlige spil pr. terningeudfald.
• Fuld information. Hele brættets tilstand er synlig for begge spillere. Der er ingen skjulte kort, ingen private værdier.
• Ufuldkommen equity-asymmetri under en justerbar indsatsløftestang. Dobleterningen gør hver stilling til en equity-beslutning uden grænse og lægger et helt andet spilteoretisk problem oven på problemet med at vælge træk.

Denne side dækker det matematiske apparat, konkurrencespillere bruger til at håndtere det maskineri: pip count, formler for løbs-equity, match equity-tabeller, Janowskis terningformel og de heuristiske genveje (Neil's Numbers), der komprimerer den formelle backgammon-matematik til hovedregning ved brættet.

Antal stillinger og tilstandsrum

Antallet af lovlige backgammon-stillinger er i størrelsesordenen $1,85 \times 10^{19}$ – det kan beregnes som antallet af måder at fordele 30 brikker på de spilbare placeringer (24 punkter, 2 bakker, 2 barpositioner) under betingelserne 15 pr. side og ingen blandet besættelse, med passende korrektioner for ugyldige overlappende konfigurationer. Tallet er stort nok til, at en brute-force-løsning ved tabelopslag er umulig for hele spillet; det er lille nok til, at rene løbsstillinger (dem uden kontakt) tillader komplette udtagningsdatabaser.

Udtagningsdatabaser (bearoff-databaser) gemmer eksakte equity-værdier for stillinger i løbsfasen; GNU Backgammon genererer og leverer sin egen, og eXtreme Gammon har sin egen. De bygges ved dynamisk programmering over den rekursive udtagningstilstand.

Pip count

Pip count er det grundlæggende mål for enhver backgammon-stilling. Det er summen, over alle en spillers brikker, af de pips hver brik skal tilbagelægge for at nå bakken. Formelt:

$\text{Pip count} = \sum_{i=1}^{15} d_i$

hvor $d_i$ er afstanden (i pips) fra den $i$-te briks aktuelle punkt til den spillers bakke.

Åbningens pip count er 167 for hver spiller:

$2 \times 24 + 5 \times 13 + 3 \times 8 + 5 \times 6$

$= 48 + 65 + 24 + 30 = 167$

Det gennemsnitlige kast i backgammon flytter en spiller 8⅙ pips frem pr. tur (forventningsværdien over de 21 forskellige kast, vægtet efter konventionen om, at hvert dobbeltslag tæller fire gange). Det forventede antal ture til at bringe alle brikker hjem og tage dem af fra startopstillingen er derfor cirka $167 / 8{,}17 \approx 20{,}4$ ture.

I et rent løb kan den førende pip count omsættes direkte til en vinderchance. Flere tilnærmelser på lukket form er blevet offentliggjort. De to mest citerede er Thorp Count og Keith Count.

Thorp Count og Keith Count

Thorp Count (Edward Thorp, 1978) tager udgangspunkt i den rå pip count og justerer den for det, en simpel tælling overser: der lægges en straf til for hver brik, der stadig er på brættet (flere brikker betyder mere wastage i udtagningen), en straf for brikker, der allerede ligger ophobet på 1-punktet, og en bonus for hvert besat punkt i hjemlandet; den førendes justerede tal forhøjes derefter med en tiendedel, før de to sider sammenlignes. Det er sammenligningen, ikke de rå pips, der afgør dobling, redobling og take.

Keith Count (Tom Keith) er en senere forfinelse af samme idé. Den lægger til pip counten for overskydende brikker på 1-, 2- og 3-punktet og for tomme pladser på 4-, 5- og 6-punktet – præcis de former, der spilder pips i udtagningen – og forhøjer igen den førendes tal med en fast brøkdel, før der sammenlignes. Keith Count er den anbefalede manuelle formel for løbs-equity i moderne konkurrencespil; de nøjagtige justeringsværdier og beslutningstærskler står i de offentliggjorte formler.

Til meget præcis løbs-equity stoler spillerne på en motors udtagningsdatabase, men både Thorp og Keith er stadig kanoniske mentale værktøjer.

Dørene åbner snart — invitationslisten åbner først.

Få din invitation

Løbs-equity og 8-9-12-reglen

De almindelige regler for doblinger i løbet gælder, når begge sider er ude af kontakt. Den meget citerede 8-9-12-regel for den førende i et løb sammenfatter årtiers rollout-analyse i tre tærskler:

• Første dobling: den førendes forspring i løbet ≥ 8 % af hans pip count.
• Redobling: den førendes forspring i løbet ≥ 9 % af hans pip count.
• Pas: den førendes forspring i løbet over 12 % af hans pip count – modtageren bør passe.

Tærsklerne er tilnærmelser. Eksakte tabeller over løbs-equity (Snowie, GNUbg, XG) forfiner dem stilling for stilling og tager højde for wastage, crossovers og udtagningsstrukturens jævnhed.

Dobleterningens equity: takepunktet

Det mest citerede enkeltresultat i backgammon-matematik er takepunktet med død terning på 25 %. Formelt:

For en spiller, der får tilbudt en terning med værdien $C$, giver det $+2C$ point at tage og vinde og $-2C$ point at tage og tabe; at passe koster $-C$ point ubetinget. Sættes den forventede værdi af at tage lig med tabet ved at passe:

$p \cdot (+2C) + (1-p) \cdot (-2C) = -C$ $2pC - 2C + 2pC = -C$ $4pC - 2C = -C$ $p = \frac{1}{4} = 25\,\%$

Modtageren bør altså tage ved enhver vinderchance $p \geq 25\,\%$, når der ses bort fra værdien af at kunne redoble.

Med recube-vigorish – modtagerens værdi af at kunne redoble – falder det praktiske takepunkt til cirka 21–22 % i de fleste stillinger. Den nøjagtige reduktion afhænger af terningens effektivitet ved senere vendepunkter og beregnes ved rollout i moderne motoranalyse.

Det tilsvarende doblingspunkt for den, der dobler – den equity, hvor det er korrekt at doble – afhænger af terningens effektivitet (timing) og af gammon-priserne og behandles i detaljer på siden om match equity.

Match equity

I matchspil afløses den simple pengespils-equity af match equity: sandsynligheden for at vinde matchen fra den aktuelle stilling, hvor det igangværende partis udfald lægges sammen med alle efterfølgende partier ved alle de scorer, der kan nås. Match equity ved en given score beregnes ud fra match equity-tabellen (MET), en todimensional tabel indekseret efter begge spilleres away-scorer.

Den moderne standard er Rockwell-Kazaross-MET, der er gengivet som en 9×9-kerne på siden om match equity, mens den fulde kanoniske 25×25-tabel er tilgængelig via GNU Backgammon.

Takepunktet, doblingspunktet og gammon-prisen afhænger alle af scoren og ikke kun af det igangværende partis vinderchancer. En vinderchance på 22 %, der er et pas i pengespil, kan være et klart take ved visse matchscorer; en stilling med 50 % vinderchance kan være »for god til at doble« ved andre.

Janowski-formlerne

Den fulde MET er eksakt (inden for præcisionen af de rollouts, den er udledt af), men besværlig at lære udenad. De Janowski-type tilnærmelser på lukket form, udledt af Rick Janowskis arbejde og senere forfinelser, giver brugbare tilnærmelser, der rammer tabellen inden for cirka 1–2 % i de fleste celler. Der skal to forskellige formler til – én for almindelige scorer før Crawford og én for scorer i Crawford-partiet.

Før Crawford (begge spillere ≥ 2-away, terningen i spil):

$M = 0{,}5 + 0{,}87 \times \frac{D}{T + 6}$

Crawford-specifik (den ene spiller 1-away, terningen ude af spil):

$M = 0{,}525 + 0{,}57 \times \frac{D}{T + 2}$

I begge er $D$ den førendes forspring i point (den bagudliggendes away-score minus den førendes away-score), og $T$ er den bagudliggendes away-score. Den fulde udledning, det gennemregnede eksempel og den almindelige fejl, man skal undgå (at bruge den førendes away-score som $T$), står på siden om match equity.

Equity fra neurale netværk

Moderne motorer beregner ikke equity ud fra formler på lukket form. De bruger trænede neurale netværk, der tager en stillingsvektor – typisk ca. 250 features, der koder antal brikker pr. punkt, afstand til udtagning, eksponering for direkte og indirekte skud, prime-struktur, ankre, byggere og mere – og leverer en equity-værdi eller en fordeling over udfaldene sejr/gammon/backgammon.

Linjen fra TD-Gammon (Tesauro, 1992) over Jellyfish, Snowie, GNU Backgammon, eXtreme Gammon (XG), BGBlitz og Wildbg dækkes på siden Bots og AI. Referencestandarden i 2026 er XG2-rollouts, der kombinerer fremadrettet søgning i flere plies med neuralt netværk som bladevaluering og Monte Carlo-sampling af terningerne ved afskæringshorisonten.

Varians

Et enkelt parti backgammon har en standardafvigelse på cirka 1,2 point pr. parti på den resulterende score (pengespil, uden Jacoby). Over en match til 7 point lægger variansen sig sammen, og standardfejlen på målingen af færdighed er i størrelsesordenen 2,5–3,0 point pr. match – hvilket betyder, at enkelte korte matcher ikke pålideligt adskiller små forskelle i færdighed. Det almindelige værktøj til at adskille dem er Performance Rating (PR), der måler fejl pr. træk mod en referencebot. Selv over en hel match varierer PR stadig med flere point; en stabil PR kræver mange matcher – nogle få tusind beslutninger – før den adskiller spillerne pålideligt. Se PR og Elo.

Se også

• Crawford-reglen – terningen sat ud af kraft i matchspil.
• Bots og AI – linjen af motorer med neurale netværk.
• Ordliste – formelle definitioner af pip count, takepunkt, gammon-pris, MET.