Die Mathematik des Backgammons

Backgammon ist formal ein stochastisches Zwei-Personen-Nullsummen-Spiel mit vollständiger Information und einer asymmetrischen Equity-Struktur unter einem regelbaren Einsatz-Hebel. Diese sperrige Beschreibung zählt, denn jeder Teilsatz steht für einen eigenen Zweig der Mathematik des Spiels:

• Zwei-Personen-Nullsumme. Standard-Spieltheorie ist anwendbar. Für jede Position existiert eine wohldefinierte optimale Strategie für jeden Spieler. Die Equity bleibt zwischen den beiden Seiten erhalten.
• Stochastisch. Die 36 gleichgewichteten Ergebnisse zweier sechsseitiger Würfel fügen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Züge hinzu. Die meisten Stellungen lassen pro Wurf mehrere legale Züge zu.
• Vollständige Information. Der gesamte Brett-Zustand ist für beide Spieler sichtbar. Keine verdeckten Karten, keine geheimen Werte.
• Asymmetrische Equity-Struktur unter einem regelbaren Einsatz-Hebel. Der Verdopplungswürfel macht aus jeder Position eine Equity-Entscheidung zwischen zwei Spielern ohne Einsatz-Obergrenze und legt damit ein zweites spieltheoretisches Problem über das Zug-Auswahl-Problem.

Diese Säule deckt den mathematischen Apparat ab, den Wettkampfspieler im Umgang damit nutzen: Pip-Count, Race-Equity-Formeln, Match-Equity-Tabellen, die Janowski-Cube-Formel und die heuristischen Abkürzungen (Neil's Numbers), die die formale Mathematik in Kopfrechnung fürs Brett komprimieren.

Unter-Seiten (Englisch):

• Match Equity Tables (MET) — die vollständige Rockwell-Kazaross-MET, die Janowski-Formeln, Gammon-Preise, Take-Point-Berechnung.
• Neil's Numbers — die kanonischen mentalen Heuristiken zur over-the-board-MWC-Berechnung.

1. Stellungs-Anzahl und Zustandsraum

Die Zahl legaler Backgammon-Stellungen liegt in der Größenordnung von $1{,}85 \times 10^{19}$ — berechenbar als die Zahl der Möglichkeiten, 30 Steine auf die spielbaren Positionen zu verteilen (24 Punkte, 2 Auswurf-Schalen, 2 Bar-Positionen) unter der Bedingung von 15 Steinen pro Seite und ohne gemischte Besetzung der Punkte, mit Korrekturen für ungültige überlappende Konfigurationen. Diese Zahl ist groß genug, um eine Brute-Force-Lösung per Tabellen-Lookup für das volle Spiel unmöglich zu machen, und klein genug, dass reine Race-Stellungen (außerhalb des Kontakts) vollständige Auswurf-Datenbanken zulassen.

Die Standard-Tom-Keith-Auswurf-Datenbanken speichern exakte Equities für Race-Phasen-Stellungen und werden von GNU Backgammon und eXtreme Gammon als Orakel für die Race-Phase genutzt. Die verteilten Datenbanken variieren in Größe je nach Stein-Zahl und Tiefe: typische zweiseitige kontaktfreie Datenbanken mit 11 Steinen liegen bei 1–2 GB, mit kleineren Subsets für die Client-Nutzung. Die Datenbanken sind per dynamischer Programmierung über den rekursiven Auswurf-Zustand gebaut.

2. Pip-Count

Der Pip-Count ist die grundlegende Kennzahl jeder Backgammon-Stellung. Es ist die Summe — über alle deine Steine — der Pips, die jeder Stein noch zurücklegen muss, um die Auswurf-Schale zu erreichen. Formal:

$\text{Pip-Count} = \sum_{i=1}^{15} d_i$

wobei $d_i$ der Abstand (in Pips) des $i$-ten Steins zur eigenen Auswurf-Schale ist.

Der Pip-Count zu Beginn beträgt 167 pro Spieler:

$2 \times 24 + 5 \times 13 + 3 \times 8 + 5 \times 6 = 48 + 65 + 24 + 30 = 167$

Der durchschnittliche Wurf im Backgammon bringt einen Spieler 8⅙ Pips pro Zug voran (der Erwartungswert über die 21 unterscheidbaren Würfe, gewichtet nach der Pasch-Konvention, die jeden Pasch vierfach zählt). Die erwartete Anzahl Züge, um aus der Startstellung alle Steine nach Hause zu bringen und auszuwürfeln, liegt damit bei rund $167 / 8{,}17 \approx 20{,}4$ Zügen.

In einem reinen Race übersetzt sich der führende Pip-Count direkt in eine Gewinnwahrscheinlichkeit. Mehrere geschlossene Näherungsformeln sind veröffentlicht. Die beiden meistgenutzten sind der Thorp Count und der Keith Count.

3. Der Thorp Count und der Keith Count

Der Thorp Count (Edward Thorp, Backgammon: The Cube in the Money Game, 1978) korrigiert den rohen Pip-Count um strukturelle Faktoren, die die Race-Equity über den reinen Pip-Abstand hinaus verzerren. Er rechnet die Anzahl der Steine ein, die Anzahl gemachter Punkte, die Anzahl Crossovers und die Anzahl Lücken. Der Thorp Count wird für beide Seiten berechnet, und die Differenz sagt die Cube-Aktion voraus.

Der Keith Count (Tom Keith) ist eine spätere, genauere Verfeinerung, mit Korrekturen für die Anzahl aufeinandergestapelter Steine auf dem 1- und 2-Punkt (wo der Pip-Count die Race-Geschwindigkeit wegen Auswurf-Wastage überschätzt). Der Keith Count ist die empfohlene manuelle Race-Equity-Formel im modernen Wettkampfspiel.

Für sehr präzise Race-Equity nutzen Spieler die veröffentlichte Tom-Keith-Auswurf-Datenbank oder verlassen sich auf Neuronale-Netz-Engines, aber sowohl Thorp als auch Keith bleiben kanonische mentale Werkzeuge.

4. Race-Equity und die 8-9-12-Regel

Die Standard-Race-Cube-Entscheidungsregeln gelten, wenn beide Seiten außer Kontakt sind. Die viel zitierte 8-9-12-Regel für den Führenden eines Races komprimiert jahrzehntelange Rollout-Analyse in drei Schwellenwerte:

• Initiale Verdopplung: Race-Vorsprung ≥ 8 % deines Pip-Counts.
• Re-Double: Race-Vorsprung ≥ 9 % deines Pip-Counts.
• Ablehnen / zu gut, um zu verdoppeln: Race-Vorsprung ≥ 12 % deines Pip-Counts (der Empfänger sollte ablehnen).

Das sind Näherungen. Exakte Race-Equity-Tabellen (Snowie, GNUbg, XG) verfeinern sie Stellung für Stellung, mit Korrekturen für Wastage, Crossovers und die Glätte der Auswurf-Struktur.

5. Cube-Equity: der Take-Point

Das meistzitierte Einzel-Ergebnis der Backgammon-Mathematik ist der Dead-Cube-Take-Point von 25 %. Formal:

Einem Spieler, dem ein Cube auf Wert $C$ angeboten wird, bringt das Annehmen bei Sieg $+2C$ Punkte und bei Niederlage $-2C$ Punkte; das Ablehnen kostet unbedingt $-C$ Punkte. Setzt man den Erwartungswert des Annehmens gleich dem Verlust des Ablehnens:

$p \cdot (+2C) + (1-p) \cdot (-2C) = -C$ $2pC - 2C + 2pC = -C$ $4pC - 2C = -C$ $p = \frac{1}{4} = 25\,\%$

Der Empfänger sollte also bei jeder Gewinnwahrscheinlichkeit $p \geq 25\,\%$ annehmen — ohne Berücksichtigung des Recube-Werts.

Mit Recube-Vigorish — dem Wert für den Empfänger, später erneut verdoppeln zu können — sinkt der praktische Take-Point auf rund 21–22 % in den meisten Stellungen. Die genaue Senkung hängt von der Cube-Effizienz an späteren Zug-Punkten ab und wird in der modernen Engine-Analyse per Rollout berechnet.

Der zugehörige Double-Point für den Verdoppler — die Equity, bei der das Verdoppeln richtig ist — hängt von der Cube-Effizienz (Timing) und von Gammon-Preisen ab und steht im Detail auf der englischen Match-Equity-Seite.

6. Match Equity

Im Match-Play ersetzt die einfache Geld-Equity die Match Equity: die Wahrscheinlichkeit, das Match aus der aktuellen Position zu gewinnen, integriert über das Ergebnis der laufenden Partie und alle folgenden Partien bei allen erreichbaren Spielständen. Die Match Equity bei jedem Spielstand wird aus der Match-Equity-Tabelle (MET) berechnet, einer zweidimensionalen Tabelle, indiziert nach den Away-Scores beider Spieler.

Der moderne Standard ist die Rockwell-Kazaross-MET, in ihrer 9×9-Kernform reproduziert auf der englischen Match-Equity-Seite, mit der vollen 25×25-kanonischen Tabelle verfügbar über GNU Backgammon.

Der Take-Point, der Double-Point und der Gammon-Preis hängen alle vom Spielstand ab, nicht nur von der aktuellen Gewinnwahrscheinlichkeit. Eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 22 %, die im Geldspiel ein Ablehnen ist, kann bei bestimmten Match-Spielständen ein klares Annehmen sein; eine 50-%-Gewinnposition kann bei anderen Spielständen ein "zu gut zum Verdoppeln" sein.

7. Die Janowski-Formeln

Die volle MET ist exakt (innerhalb der Rollout-Präzision, aus der sie abgeleitet ist), aber unhandlich auswendig zu lernen. Die Näherungen in geschlossener Form im Janowski-Stil, hervorgegangen aus Arbeiten von Rick Janowski und späteren Verfeinerungen, liefern nützliche Näherungen, die die Tabelle in den meisten Zellen mit etwa 1–2 % Abweichung treffen. Zwei verschiedene Formeln sind nötig — eine für normale Pre-Crawford-Spielstände und eine für Crawford-Spielstände.

Pre-Crawford (beide Spieler ≥ 2-away, Cube im Spiel):

$M = 0{,}5 + 0{,}87 \times \frac{D}{T + 6}$

Crawford-spezifisch (ein Spieler auf 1-away, Cube aus dem Spiel):

$M = 0{,}525 + 0{,}57 \times \frac{D}{T + 2}$

In beiden Formeln ist $D$ der Vorsprung des Führenden in Punkten (Away-Score des Zurückliegenden minus Away-Score des Führenden), und $T$ der Away-Score des Zurückliegenden — die Punkte, die der Zurückliegende noch braucht. Die vollständige Herleitung, das ausgearbeitete Beispiel und der häufigste Fehler (T als Away-Score des Führenden zu verwenden) stehen auf der englischen Match-Equity-Seite.

8. Neuronale-Netz-Equity

Moderne Engines berechnen Equity nicht aus geschlossenen Formeln. Sie nutzen trainierte neuronale Netze, die einen Stellungs-Vektor — meist ~250 Features, die Stein-Anzahl pro Punkt, Abstand zum Auswurf, Belastung durch direkte und indirekte Schüsse, Prime-Struktur, Anker, Builder und mehr kodieren — als Eingabe nehmen und einen Equity-Wert oder eine Verteilung über Win/Gammon/Backgammon-Ergebnisse ausgeben.

Die Linie von TD-Gammon (Tesauro, 1992) über Jellyfish, Snowie, GNU Backgammon, eXtreme Gammon (XG), BGBlitz und Wildbg steht auf der Bots & AI-Seite. Die Referenz-Standardisierung 2026 sind XG2-Rollouts, die Forward-Suche bis zu mehreren Plies mit Neuronaler-Netz-Blatt-Bewertung und Monte-Carlo-Würfel-Sampling am Truncation-Horizont kombinieren.

9. Varianz

Eine einzelne Backgammon-Partie hat eine Standardabweichung von rund 1,2 Punkten auf den Endpunktestand (Geldspiel, keine Jacoby-Regel). Über ein 7-Punkte-Match summiert sich die Varianz, und der Standardfehler der Skill-Messung liegt bei rund 2,5–3,0 Punkten pro Match — was bedeutet, dass einzelne kurze Matches kleine Skill-Unterschiede nicht zuverlässig auflösen. Das Standardinstrument zur Differenzierung ist das Performance Rating (PR), das den Fehler pro Zug gegen einen Referenz-Bot misst. Über hunderte Züge fällt die Varianz des PR auf kleine Bruchteile eines Millipoints, was zuverlässige Skill-Vergleiche über ein paar tausend Züge erlaubt. Siehe PR & ELO auf der englischen Seite.

Siehe auch

• Match Equity Tables — die vollständige Rockwell-Kazaross-MET und Herleitung der Janowski-Formeln (Englisch).
• Neil's Numbers — mentale MWC-Heuristiken (Englisch).
• Crawford-Regel — Match-Play-Cube-Aussetzung (Englisch).
• Bots & AI — Neuronale-Netz-Engine-Linie.
• Backgammon-Regeln — Grundlagen.

Fußnoten