Les mathématiques du backgammon

Le backgammon est, formellement, un jeu stochastique à somme nulle, à deux joueurs, à information parfaite, avec une structure d'equity asymétrique sous un levier de mise réglable. La définition est dense, mais chaque partie correspond à une branche distincte des mathématiques du jeu :

• À somme nulle entre deux joueurs. La théorie des jeux standard s'applique. Pour chaque position, il existe une stratégie optimale bien définie pour chaque joueur. L'equity se conserve entre les deux camps.
• Stochastique. Les 36 résultats équiprobables de deux dés à six faces ajoutent une distribution de probabilité sur les coups. La plupart des positions admettent plusieurs coups légaux par tirage.
• À information parfaite. L'état complet du plateau est visible des deux joueurs. Aucune carte cachée, aucune valeur secrète.
• Structure d'equity asymétrique sous un levier de mise réglable. Le videau transforme chaque position en une décision d'equity bilatérale, sans plafond de mise, et superpose un second problème de théorie des jeux au problème de choix de coup.

Ce pilier couvre l'appareil mathématique que les joueurs compétitifs utilisent pour manier cette machinerie : pip-count, formules de race equity, tables de match equity, formules de Janowski pour le videau et les raccourcis heuristiques (Neil's Numbers) qui condensent la mathématique formelle en calcul de tête au plateau.

Sous-pages (en anglais) :

• Match Equity Tables (MET) — la table complète Rockwell-Kazaross, les formules de Janowski, les gammon prices et le calcul du take point.
• Neil's Numbers — les raccourcis mentaux canoniques pour calculer la MWC au plateau.

1. Nombre de positions et espace d'états

Le nombre de positions légales au backgammon est de l'ordre de $1{,}85 \times 10^{19}$ : on le calcule comme le nombre de façons de répartir 30 pions sur les cases jouables (24 flèches, 2 bacs de sortie, 2 emplacements de barre), sous la contrainte de 15 pions par camp et sans occupation mixte des flèches, avec la correction pour les configurations invalides qui se chevauchent. C'est assez grand pour qu'une solution par force brute via tables soit hors de portée sur tout le jeu, et assez petit pour que les positions de course pure (hors contact) acceptent des bases de données complètes de sortie de pions.

Les bases de données de sortie de Tom Keith stockent les equities exactes pour les positions de phase de course et servent dans GNU Backgammon et eXtreme Gammon d'oracle pour la phase de course. Les bases distribuées varient en taille selon le nombre de pions et la profondeur : les bases sans contact à 11 pions, deux camps, tournent autour de 1 à 2 Go, avec des sous-ensembles plus petits distribués côté client. Les bases sont construites par programmation dynamique sur l'état récursif de sortie.

2. Pip-count

Le pip-count est la métrique fondamentale de toute position de backgammon. C'est la somme, sur tous tes pions, des pips qu'il reste à parcourir à chacun pour atteindre le bac de sortie. Formellement :

$\text{Pip-count} = \sum_{i=1}^{15} d_i$

où $d_i$ est la distance (en pips) de la position du pion $i$ jusqu'à ton propre bac de sortie.

Le pip-count initial est de 167 par joueur :

$2 \times 24 + 5 \times 13 + 3 \times 8 + 5 \times 6 = 48 + 65 + 24 + 30 = 167$

Le tirage moyen au backgammon fait avancer un joueur de 8 ⅙ pips par tour (espérance sur les 21 tirages distincts, pondérée par la convention de doubles qui fait jouer chaque double quatre fois). Le nombre de tours espéré pour ramener tous les pions à la maison depuis la position initiale puis les sortir tourne autour de $167 / 8{,}17 \approx 20{,}4$ tours.

En course pure, l'avance en pip-count se traduit directement en probabilité de victoire. Plusieurs formules fermées ont été publiées. Les deux plus citées sont le Thorp Count et le Keith Count.

3. Le Thorp Count et le Keith Count

Le Thorp Count (Edward Thorp, Backgammon: The Cube in the Money Game, 1978) corrige le pip-count brut pour des facteurs structurels qui biaisent la race equity au-delà de la simple distance. Il intègre le nombre de pions, les flèches tenues, le nombre de crossovers et les trous. Le Thorp Count se calcule pour les deux camps, et l'écart prédit l'action sur le videau.

Le Keith Count (Tom Keith) est un raffinement postérieur, plus précis, avec des corrections pour le nombre de pions empilés sur les flèches 1 et 2 (où le pip-count surestime la vitesse de course en raison du wastage à la sortie). Le Keith Count est la formule manuelle recommandée pour la race equity dans le jeu compétitif moderne.

Pour une race equity très précise, on utilise la base de Tom Keith ou on se fie aux moteurs neuronaux, mais Thorp comme Keith restent des outils mentaux canoniques.

4. Race equity et la règle 8-9-12

Les règles standard de décision sur le videau en phase de course s'appliquent quand les deux camps sont hors de contact. La règle 8-9-12, très citée, condense des décennies d'analyse par rollouts en trois seuils pour le leader d'une course :

• Doublement initial : avantage en course ≥ 8 % de ton pip-count.
• Redoublement : avantage ≥ 9 %.
• Refus / « trop fort pour doubler » : avantage ≥ 12 % (le receveur doit refuser).

Ce sont des approximations. Les tables exactes de race equity (Snowie, GNUbg, XG) les raffinent position par position, avec corrections pour le wastage, les crossovers et la régularité de la structure de sortie.

5. Cube equity : le take point

Le résultat le plus cité des mathématiques du backgammon, c'est le take point à 25 % en videau mort. Formellement :

Pour un joueur à qui l'on propose un videau à la valeur $C$, accepter signifie $+2C$ points en cas de victoire et $-2C$ en cas de défaite ; refuser coûte $-C$ points de façon inconditionnelle. On égalise l'espérance d'accepter et la perte de refuser :

$p \cdot (+2C) + (1-p) \cdot (-2C) = -C$ $2pC - 2C + 2pC = -C$ $4pC - 2C = -C$ $p = \frac{1}{4} = 25\,\%$

Le receveur doit donc accepter à toute probabilité de victoire $p \geq 25\,\%$, sans tenir compte de la valeur de recube.

Avec recube vigorish (la valeur, pour le receveur, de pouvoir redoubler plus tard), le take point pratique descend à environ 21-22 % dans la plupart des positions. La baisse exacte dépend de l'efficacité du videau aux tours suivants et se calcule par rollout dans l'analyse moderne.

Le double point correspondant pour celui qui propose — l'equity à partir de laquelle doubler est correct — dépend de l'efficacité du videau (timing) et des gammon prices, et il est traité en détail dans la page match equity (en anglais).

6. Match equity

En jeu en match, l'equity d'argent simple cède la place à la match equity : la probabilité de gagner le match depuis la position courante, en intégrant le résultat de la partie en cours avec toutes les parties suivantes à tous les scores accessibles. La match equity à chaque score se calcule depuis la table de match equity (MET), une table à deux dimensions indexée par les away-scores des deux joueurs.

Le standard moderne, c'est la Rockwell-Kazaross MET, reproduite sous forme de noyau 9×9 sur la page match equity, avec la table canonique 25×25 disponible via GNU Backgammon.

Le take point, le double point et le gammon price dépendent tous du score, pas seulement de la probabilité de victoire de la partie en cours. Une probabilité de victoire de 22 % qui en jeu d'argent est un refus clair peut être un take clair à certains scores de match ; une position gagnante à 50 % peut être un « trop bon pour doubler » à d'autres scores.

7. Les formules de Janowski

La MET complète est exacte (dans la précision des rollouts qui l'ont produite) mais pesante à mémoriser. Les formules de style Janowski, issues du travail de Rick Janowski et de raffinements postérieurs, fournissent des approximations utiles qui collent à la table à 1-2 % près sur la majorité des cellules. Deux formules distinctes sont nécessaires : une pour les scores normaux pré-Crawford et une pour les scores de Crawford.

Pré-Crawford (les deux joueurs à ≥ 2-away, videau en jeu) :

$M = 0{,}5 + 0{,}87 \times \frac{D}{T + 6}$

Spécifique Crawford (un joueur à 1-away, videau hors jeu) :

$M = 0{,}525 + 0{,}57 \times \frac{D}{T + 2}$

Dans les deux, $D$ est l'avance du leader en points (away-score du retardataire moins away-score du leader) et $T$ est l'away-score du retardataire, les points qu'il lui reste à gagner. La dérivation complète, l'exemple résolu et l'erreur classique (prendre $T$ = away du leader) sont sur la page match equity en anglais.

8. Equity neuronale

Les moteurs modernes ne calculent pas l'equity à partir de formules fermées. Ils utilisent des réseaux de neurones entraînés qui prennent en entrée un vecteur de position — typiquement environ 250 caractéristiques qui encodent le nombre de pions par flèche, la distance à la sortie, l'exposition aux tirs directs et indirects, la structure de barricade, les ancrages, les builders et d'autres encore — et renvoient une valeur d'equity ou une distribution sur les résultats victoire/gammon/backgammon.

La lignée TD-Gammon (Tesauro, 1992) → Jellyfish, Snowie, GNU Backgammon, eXtreme Gammon (XG), BGBlitz et Wildbg est traitée sur la page Bots & IA. La référence en 2026, ce sont les rollouts XG2, qui combinent une recherche avant à plusieurs niveaux, l'évaluation par réseau de neurones aux feuilles et l'échantillonnage Monte-Carlo des dés à l'horizon de troncature.

9. Variance

Une partie unique de backgammon a un écart type proche de 1,2 point sur le score final (jeu d'argent, sans Jacoby). Sur un match à 7 points, la variance se cumule, et l'erreur standard de mesure du niveau se situe autour de 2,5 à 3,0 points par match — autrement dit, les matchs courts pris isolément ne permettent pas de distinguer de façon fiable les petites différences de niveau. L'outil standard pour discriminer, c'est le Performance Rating (PR), qui mesure l'erreur par coup contre un bot de référence. Sur quelques centaines de coups, la variance du PR tombe à quelques fractions de millipoint, ce qui permet des comparaisons de niveau fiables sur quelques milliers de coups. Voir PR et ELO en anglais.

Voir aussi

• Match Equity Tables — la MET complète Rockwell-Kazaross et la dérivation des formules de Janowski (en anglais).
• Neil's Numbers — raccourcis mentaux pour la MWC (en anglais).
• Règle de Crawford — suspension du videau en jeu en match (en anglais).
• Bots & IA — la lignée des moteurs neuronaux.
• Règles du backgammon — fondamentaux.

Notes