Les mathématiques du backgammon : probabilités, equity et videau

Pourquoi les mathématiques comptent pour un joueur de backgammon

Le backgammon est, formellement, un jeu stochastique à somme nulle, à deux joueurs, à information parfaite, avec une asymétrie d'equity imparfaite sous un levier de mise réglable. Cette description lourde a son importance, parce que chaque membre de phrase correspond à une branche distincte des mathématiques du jeu :

• À somme nulle, à deux joueurs. La théorie des jeux standard s'applique. Il existe toujours une stratégie optimale bien définie pour chaque joueur dans chaque position. L'equity se conserve entre les deux camps.
• Stochastique. Les 36 résultats équiprobables de deux dés à six faces introduisent une distribution de probabilité sur les coups. La plupart des positions admettent plusieurs coups légaux par résultat de dés.
• À information parfaite. L'état complet du plateau est visible des deux joueurs. Pas de cartes cachées, pas de valeurs privées.
• Asymétrie d'equity imparfaite sous un levier de mise réglable. Le videau transforme chaque position en une décision d'equity sans plafond de mise, et superpose un second problème de théorie des jeux entier au problème du choix du coup.

Cette page couvre l'appareil mathématique que les joueurs compétitifs utilisent pour manier cette machinerie : pip-counts, formules de race equity, tables de match equity, la formule de Janowski pour le videau, et les raccourcis heuristiques (Neil's Numbers) qui condensent les mathématiques formelles du backgammon en calculs de tête au plateau.

Nombre de positions et espace d'états

Le nombre de positions légales au backgammon est de l'ordre de $1{,}85 \times 10^{19}$ — calculable comme le nombre de façons de répartir 30 pions sur les emplacements jouables (24 flèches, 2 bacs de sortie, 2 places sur la barre), sous la contrainte de 15 pions par camp et sans occupation mixte, avec les corrections appropriées pour les configurations invalides qui se chevauchent. Ce nombre est assez grand pour qu'une résolution par force brute via des tables soit hors de portée sur l'ensemble du jeu ; il est assez petit pour que les positions de course pure (hors contact) admettent des bases de données de sortie complètes.

Les bases de données de sortie stockent les equities exactes des positions de la phase de course ; GNU Backgammon génère et distribue la sienne, et eXtreme Gammon a la sienne. Elles sont construites par programmation dynamique sur l'état récursif de la sortie.

Le pip-count

Le pip-count est la métrique fondamentale de toute position de backgammon. C'est la somme, sur tous les pions d'un joueur, des pips que chaque pion doit encore parcourir pour atteindre le bac de sortie. Formellement :

$\text{Pip-count} = \sum_{i=1}^{15} d_i$

où $d_i$ est la distance (en pips) entre la flèche actuelle du $i$-ème pion et le bac de sortie de ce joueur.

Le pip-count de départ est de 167 pour chaque joueur :

$2 \times 24 + 5 \times 13 + 3 \times 8 + 5 \times 6$

$= 48 + 65 + 24 + 30 = 167$

Le tirage moyen au backgammon fait avancer un joueur de 8 ⅙ pips par tour (l'espérance sur les 21 tirages distincts, pondérée par la convention des doubles, qui compte chaque double quatre fois). Le nombre de tours attendu pour ramener tous les pions à la maison et les sortir depuis la position de départ est donc d'environ $167 / 8{,}17 \approx 20{,}4$ tours.

En course pure, l'avance au pip-count se traduit directement en probabilité de victoire. Plusieurs approximations en forme close ont été publiées. Les deux plus citées sont le Thorp Count et le Keith Count.

Le Thorp Count et le Keith Count

Le Thorp Count (Edward Thorp, 1978) part du pip-count brut et le corrige pour ce qu'un simple décompte ignore : il ajoute une pénalité pour chaque pion encore sur le plateau (plus de pions, c'est plus de gaspillage à la sortie), une pénalité pour les pions déjà empilés sur la flèche 1, et un crédit pour chaque flèche du jan intérieur occupée ; le compte corrigé du leader est ensuite majoré d'un dixième avant de comparer les deux camps. C'est la comparaison, pas les pips bruts, qui décide du double, du redouble et du take.

Le Keith Count (Tom Keith) est un raffinement ultérieur de la même idée. Il ajoute au pip-count pour les pions en surnombre sur les flèches 1, 2 et 3 et pour les espaces vides sur les flèches 4, 5 et 6 — exactement les formes qui gaspillent des pips à la sortie — et majore à nouveau le compte du leader d'une fraction fixe avant de comparer. Le Keith Count est la formule manuelle de race equity recommandée dans le jeu compétitif moderne ; les valeurs exactes des corrections et les seuils de décision sont dans les formules publiées.

Pour une race equity très précise, les joueurs se fient à la base de données de sortie d'un moteur, mais Thorp comme Keith restent des outils mentaux canoniques.

Race equity et la règle 8-9-12

Les règles standard de décision de videau en course s'appliquent quand les deux camps sont hors de contact. La règle 8-9-12, très citée, pour le leader d'une course, résume des décennies d'analyse par rollouts en trois seuils :

• Double initial : avance en course du leader ≥ 8 % de son pip-count.
• Redouble : avance en course du leader ≥ 9 % de son pip-count.
• Passe : avance en course du leader supérieure à 12 % de son pip-count — le receveur doit passer.

Ces seuils sont des approximations. Les tables exactes de race equity (Snowie, GNUbg, XG) les affinent position par position, en tenant compte du gaspillage, des cross-overs et de la régularité de la structure de sortie.

Les portes ouvrent bientôt — la liste d’invitations ouvre en premier.

Reçois ton invitation

Equity du videau : le take point

Le résultat le plus cité des mathématiques du backgammon est le take point à videau mort de 25 %. Formellement :

Pour un joueur à qui l'on propose un videau à la valeur $C$, accepter rapporte $+2C$ points en cas de victoire et coûte $-2C$ points en cas de défaite ; passer coûte $-C$ points inconditionnellement. En égalant l'espérance de l'acceptation et la perte du passe :

$p \cdot (+2C) + (1-p) \cdot (-2C) = -C$ $2pC - 2C + 2pC = -C$ $4pC - 2C = -C$ $p = \frac{1}{4} = 25\,\%$

Le receveur doit donc accepter à toute probabilité de victoire $p \geq 25\,\%$, sans tenir compte de la valeur de recube.

Avec le recube vigorish — la valeur, pour le receveur, de pouvoir redoubler — le take point pratique descend à environ 21–22 % dans la plupart des positions. La réduction exacte dépend de l'efficacité du videau aux tours suivants et se calcule par rollout dans l'analyse moderne par moteur.

Le double point correspondant pour celui qui double — l'equity à partir de laquelle doubler est correct — dépend de l'efficacité du videau (le timing) et des gammon prices, et il est traité en détail sur la page de match equity.

Match equity

En jeu en match, la simple equity d'argent cède la place à la match equity : la probabilité de gagner le match depuis la position actuelle, en intégrant l'issue de la partie en cours à toutes les parties suivantes à tous les scores accessibles. La match equity à un score donné se calcule à partir de la Match Equity Table (MET), une table à deux dimensions indexée par les away-scores des deux joueurs.

Le standard moderne est la MET de Rockwell-Kazaross, reproduite sous forme de noyau 9×9 sur la page de match equity, la table canonique 25×25 complète étant disponible via GNU Backgammon.

Le take point, le double point et le gammon price dépendent tous du score, pas seulement des chances de victoire de la partie en cours. Une probabilité de victoire de 22 %, qui est un passe en partie libre, peut être un take clair à certains scores de match ; une position gagnante à 50 % peut être un « trop bon pour doubler » à d'autres.

Les formules de Janowski

La MET complète est exacte (à la précision près des rollouts qui ont servi à la dériver) mais lourde à mémoriser. Les approximations en forme close de type Janowski, issues des travaux de Rick Janowski et de raffinements ultérieurs, fournissent des approximations utiles qui collent à la table à 1–2 % près sur la plupart des cellules. Deux formules distinctes sont nécessaires — une pour les scores pré-Crawford normaux et une pour les scores de la partie de Crawford.

Pré-Crawford (les deux joueurs à ≥ 2-away, videau en jeu) :

$M = 0{,}5 + 0{,}87 \times \frac{D}{T + 6}$

Spécifique à Crawford (un joueur à 1-away, videau retiré) :

$M = 0{,}525 + 0{,}57 \times \frac{D}{T + 2}$

Dans les deux, $D$ est l'avance du leader en points (away-score du retardataire moins away-score du leader) et $T$ est l'away-score du retardataire. La dérivation complète, l'exemple résolu et l'erreur courante à éviter (prendre l'away du leader comme $T$) sont sur la page de match equity.

Equity par réseau de neurones

Les moteurs modernes ne calculent pas l'equity à partir de formules en forme close. Ils utilisent des réseaux de neurones entraînés qui prennent en entrée un vecteur de position — typiquement environ 250 caractéristiques encodant le nombre de pions par flèche, la distance à la sortie, l'exposition aux shots directs et indirects, la structure de prime, les ancres, les constructeurs et plus encore — et produisent une valeur d'equity ou une distribution sur les issues victoire/gammon/backgammon.

La lignée qui va de TD-Gammon (Tesauro, 1992) à Jellyfish, Snowie, GNU Backgammon, eXtreme Gammon (XG), BGBlitz et Wildbg est traitée sur la page Bots et IA. La référence en 2026, ce sont les rollouts XG2, qui combinent une recherche en avant sur plusieurs plis, une évaluation des feuilles par réseau de neurones et un échantillonnage Monte-Carlo des dés à l'horizon de troncature.

Variance

Une seule partie de backgammon a un écart type d'environ 1,2 point par partie sur le score obtenu (partie libre, sans Jacoby). Sur un match en 7 points, la variance se cumule et l'erreur standard de la mesure du niveau est de l'ordre de 2,5 à 3,0 points par match — ce qui veut dire que des matchs courts pris isolément ne séparent pas de façon fiable de petites différences de niveau. L'outil standard pour les séparer est le Performance Rating (PR), qui mesure l'erreur par coup contre un bot de référence. Même sur un match entier, le PR varie encore de plusieurs points ; un PR stable demande de nombreux matchs — quelques milliers de décisions — avant de séparer les joueurs de façon fiable. Voir PR et Elo.

Voir aussi

• Règle de Crawford — la suspension du videau en jeu en match.
• Bots et IA — la lignée des moteurs à réseaux de neurones.
• Glossaire — les définitions formelles de pip-count, take point, gammon price, MET.