La matematica del backgammon

Il backgammon è, formalmente, un gioco stocastico a somma zero a due giocatori con informazione perfetta, asimmetria di equity imperfetta e una leva di posta regolabile. La descrizione, lunga ma necessaria, merita attenzione perché ogni clausola corrisponde a un ramo distinto della matematica del gioco:

• A due giocatori, somma zero. Si applica la teoria dei giochi standard. Esiste sempre una strategia ottimale ben definita per ciascun giocatore in ogni posizione. L'equity si conserva tra i due lati.
• Stocastico. I 36 esiti equiprobabili dei due dadi a sei facce introducono una distribuzione di probabilità sulle mosse. La maggior parte delle posizioni ammette più mosse legali per ogni esito dei dadi.
• Informazione perfetta. Lo stato completo della tavola è visibile a entrambi i giocatori. Non ci sono carte coperte né valori privati.
• Asimmetria di equity imperfetta con una leva di posta regolabile. Il cubo del raddoppio trasforma ogni posizione in una decisione di equity senza limite di puntata, sovrapponendo un secondo problema di teoria dei giochi a quello della scelta della mossa.

Questa pagina copre l'apparato matematico che i giocatori competitivi usano per maneggiare questo macchinario: pip count, formule di race equity, tavole di match equity, la formula di Janowski per il cubo e le scorciatoie euristiche (Neil's Numbers) che comprimono la matematica formale in calcoli mentali al tavolo.

Sotto-pagine in inglese:

• Match Equity Tables (MET) — la MET pre-Crawford completa di Rockwell-Kazaross, la formula di Janowski, i gammon price, il calcolo del take point.
• Neil's Numbers — le euristiche mentali canoniche per il calcolo MWC al tavolo.

1. Conteggio delle posizioni e spazio degli stati

Il numero di posizioni legali nel backgammon è dell'ordine di $1{,}85 \times 10^{19}$ — calcolabile come il numero di modi in cui distribuire 30 pedine sulle posizioni giocabili (24 punte, 2 vassoi di uscita, 2 posizioni di barra), sotto il vincolo di 15 pedine per lato e il vincolo di nessuna co-occupazione mista, con le correzioni opportune per configurazioni sovrapposte invalide. Questo numero è abbastanza grande da rendere impraticabile una soluzione esatta via tabella di lookup per il gioco completo; è abbastanza piccolo da permettere ai database delle posizioni di sola corsa (quelle fuori contatto) un trattamento esauriente.

I database di bearoff di Tom Keith memorizzano le equity esatte per le posizioni di fase di corsa e sono usati da GNU Backgammon ed eXtreme Gammon come oracolo per la fase di corsa. I database distribuiti variano per dimensione in base al numero di pedine e alla profondità: i tipici database a due lati senza contatto, da 11 pedine, sono dell'ordine di 1-2 GB, con sottoinsiemi più piccoli distribuiti per uso lato client. I database si costruiscono via programmazione dinamica sullo stato ricorsivo di bearoff.

2. Pip count

Il pip count è la metrica fondamentale di ogni posizione di backgammon. È la somma, su tutte le pedine di un giocatore, dei pip che ciascuna pedina deve percorrere per arrivare al vassoio di uscita. Formalmente:

$\text{Pip count} = \sum_{i=1}^{15} d_i$

dove $d_i$ è la distanza (in pip) dalla punta attuale della $i$-esima pedina al vassoio di uscita di quel giocatore.

Il pip count iniziale è 167 per ciascun giocatore:

$2 \times 24 + 5 \times 13 + 3 \times 8 + 5 \times 6 = 48 + 65 + 24 + 30 = 167$

Il lancio medio nel backgammon fa avanzare un giocatore di 8⅙ pip per turno (l'aspettativa sui 21 lanci distinti, ponderata con la convenzione dei doppi che li conta quattro volte ciascuno). Il numero atteso di turni per portare tutte le pedine a casa e farle uscire dalla posizione iniziale è quindi circa $167 / 8{,}17 \approx 20{,}4$ turni.

In una pura corsa, il pip count in vantaggio si traduce direttamente in una probabilità di vittoria. Sono state pubblicate diverse approssimazioni in forma chiusa. Le due più citate sono il Thorp Count e il Keith Count.

3. Thorp Count e Keith Count

Il Thorp Count (Edward Thorp, Backgammon: The Cube in the Money Game, 1978) corregge il pip count grezzo per fattori strutturali che spostano l'equity di corsa rispetto alla pura distanza in pip:

$T = P + 2 \times C - O + S - 5 \times G$

dove $P$ è il pip count grezzo, $C$ è il numero di pedine (15 all'inizio), $O$ è il numero di punte occupate (quelle con 2 o più pedine), $S$ è il numero di crossover necessari (un termine strutturale di smoothing) e $G$ è il numero di buchi. Il Thorp Count si calcola per ciascun lato, e la differenza tra i due Thorp Count prevede l'azione sul cubo.

Il Keith Count (Tom Keith) è un raffinamento successivo, più accurato:

$K = P + \max(0, 4 - \text{posizione-sulla-punta-7}) + \dots$

con correzioni per il numero di pedine accatastate sulla punta 1 e sulla punta 2 (dove il pip count sovrastima la velocità di corsa per via dello spreco di pip (wastage) in uscita). Il Keith Count è la formula di race equity manuale raccomandata nel gioco competitivo moderno.

Per una race equity molto precisa, i giocatori usano il database di bearoff di Tom Keith o si affidano ai motori a reti neurali, ma sia Thorp sia Keith restano strumenti mentali canonici.

4. Race equity e la regola 8-9-12

Le regole standard sul cubo in corsa si applicano quando entrambi i lati sono fuori contatto. La largamente citata regola 8-9-12 per chi è in testa in una corsa riassume decenni di analisi via rollout in tre soglie:

• Raddoppio iniziale: vantaggio di corsa del leader ≥ 8% del proprio pip count.
• Riraddoppio: vantaggio di corsa del leader ≥ 9% del proprio pip count.
• Rifiuto / troppo forte per raddoppiare: vantaggio di corsa del leader ≥ 12% del proprio pip count (il ricevente deve rifiutare).

Queste soglie sono approssimazioni. Le tavole esatte di race equity (Snowie, GNUbg, XG) le affinano posizione per posizione, tenendo conto di wastage, crossover e regolarità della struttura di bearoff.

5. Cube equity: il take point

Il singolo risultato più citato nella matematica del backgammon è il take point a cubo morto del 25%. Formalmente:

Per un giocatore al quale viene offerto il cubo a valore $C$, accettare e vincere significa $+2C$ punti e perdere costa $-2C$ punti; rifiutare costa $-C$ punti incondizionatamente. Ponendo il valore atteso dell'accettare uguale alla perdita del rifiutare:

$p \cdot (+2C) + (1-p) \cdot (-2C) = -C$ $2pC - 2C + 2pC = -C$ $4pC - 2C = -C$ $p = \frac{1}{4} = 25\%$

Quindi il ricevente deve accettare per ogni probabilità di vittoria $p \geq 25\%$, ignorando il valore del riraddoppio.

Con il vigorish del riraddoppio — il valore che il ricevente ricava dal poter riraddoppiare — il take point pratico scende a circa il 21-22% nella maggior parte delle posizioni. La riduzione esatta dipende dall'efficienza del cubo nei successivi punti di svolta del cubo e si calcola via rollout nell'analisi moderna dei motori.

Il corrispondente double point per chi raddoppia — l'equity alla quale raddoppiare è corretto — dipende dall'efficienza del cubo (timing) e dai gammon price, ed è trattato in dettaglio sulla pagina di match equity.

6. Match equity

Nel match play, la semplice money equity lascia il posto alla match equity: la probabilità di vincere il match dalla posizione attuale, integrando l'esito della partita in corso con tutte le partite successive a tutti i punteggi raggiungibili. La match equity a ogni punteggio si calcola dalla Match Equity Table (MET), una tavola bidimensionale indicizzata dai punti away dei due giocatori.

Lo standard moderno è la MET di Rockwell-Kazaross, riprodotta come nucleo 9×9 sulla pagina di match equity, con la tavola canonica 25×25 completa disponibile via GNU Backgammon.

Take point, double point e gammon price dipendono tutti dal punteggio, non solo dalle probabilità di vittoria della partita in corso. Una probabilità di vittoria del 22% che è un rifiuto nel money play può essere un'accettazione netta a certi punteggi di match; una posizione vincente al 50% può essere «troppo forte per raddoppiare» ad altri.

7. Le formule di Janowski

La MET completa è esatta (entro la precisione del rollout con cui è derivata), ma scomoda da imparare a memoria. Le approssimazioni in forma chiusa in stile Janowski, derivate dal lavoro di Rick Janowski e raffinate in seguito, offrono approssimazioni utili che combaciano con la tavola entro circa l'1-2% nella maggior parte delle celle. Servono due formule distinte: una per i normali punteggi pre-Crawford e una per i punteggi di partita di Crawford.

Pre-Crawford (entrambi i giocatori a ≥ 2-away, cubo in gioco):

$M = 0{,}5 + 0{,}87 \times \frac{D}{T + 6}$

Specifica per Crawford (un giocatore a 1-away, cubo fuori gioco):

$M = 0{,}525 + 0{,}57 \times \frac{D}{T + 2}$

In entrambe, $D$ è il vantaggio del leader in punti (away score dell'inseguitore meno away score del leader) e $T$ è l'away score dell'inseguitore. La derivazione completa, l'esempio svolto e l'errore tipico da evitare (usare l'away score del leader come $T$) sono sulla pagina di match equity.

8. Equity da rete neurale

I motori moderni non calcolano l'equity da formule in forma chiusa. Usano reti neurali addestrate che prendono un vettore posizione — di solito ~250 feature che codificano il numero di pedine per punta, la distanza al bearoff, l'esposizione a tiri diretti e indiretti, la struttura della prima, le ancore, i builder e altro — e restituiscono un valore di equity o una distribuzione sugli esiti vittoria/gammone/backgammon.

La stirpe da TD-Gammon (Tesauro, 1992) attraverso Jellyfish, Snowie, GNU Backgammon, eXtreme Gammon (XG), BGBlitz e Wildbg è trattata sulla pagina Bot e IA. Lo standard di riferimento al 2026 sono i rollout di XG2, che combinano ricerca in avanti su più ply, valutazione delle foglie via rete neurale e campionamento Monte Carlo dei dadi all'orizzonte di troncamento.

9. Varianza

Una singola partita di backgammon ha una deviazione standard di circa 1,2 punti per partita sul punteggio risultante (gioco a soldi, senza Jacoby). Su un match a 7 punti la varianza si accumula e l'errore standard della misurazione di livello è dell'ordine di 2,5-3,0 punti per match — il che significa che i singoli match brevi non separano in modo affidabile differenze piccole di livello. Lo strumento standard di separazione è il Performance Rating (PR), che misura l'errore per mossa contro un bot di riferimento. Su centinaia di mosse la varianza del PR collassa a piccole frazioni di un millipunto, permettendo un confronto affidabile di livello su qualche migliaio di mosse di gioco. Vedi PR ed ELO.

Vedi anche

• Match Equity Tables — la MET completa di Rockwell-Kazaross e la derivazione della formula di Janowski.
• Neil's Numbers — euristiche mentali MWC.
• Regola di Crawford — sospensione del cubo nel match play.
• Bot e IA — la stirpe dei motori a reti neurali.
• Glossario — definizioni formali di pip count, take point, gammon price, MET.

Note