La matematica del backgammon: probabilità, equity e cubo

Perché la matematica conta per un giocatore di backgammon

Il backgammon è, formalmente, un gioco stocastico a somma zero per due giocatori, a informazione perfetta, con asimmetria di equity imperfetta e una leva di posta regolabile. La descrizione, scomoda ma necessaria, conta perché ogni clausola corrisponde a un ramo distinto della matematica del gioco:

• Due giocatori, somma zero. Si applica la teoria dei giochi standard. Esiste sempre una strategia ottimale ben definita per ciascun giocatore in ogni posizione. L'equity si conserva tra i due lati.
• Stocastico. I 36 esiti equiprobabili di due dadi a sei facce introducono una distribuzione di probabilità sulle mosse. La maggior parte delle posizioni ammette più mosse legali per ogni esito dei dadi.
• Informazione perfetta. Lo stato completo della tavola è visibile a entrambi i giocatori. Non ci sono carte coperte né valori privati.
• Asimmetria di equity imperfetta con una leva di posta regolabile. Il cubo del raddoppio trasforma ogni posizione in una decisione di equity senza limite di puntata, sovrapponendo un secondo problema di teoria dei giochi a quello della scelta della mossa.

Questa pagina copre l'apparato matematico che i giocatori competitivi usano per maneggiare questo macchinario: pip count, formule di equity di corsa, tavole di match equity, la formula di Janowski per il cubo e le scorciatoie euristiche (Neil's Numbers) che comprimono la matematica formale del backgammon in calcoli mentali al tavolo.

Conteggio delle posizioni e spazio degli stati

Il numero di posizioni legali nel backgammon è dell'ordine di $1{,}85 \times 10^{19}$ — calcolabile come il numero di modi di distribuire 30 pedine sulle posizioni giocabili (24 punte, 2 vassoi di uscita, 2 posizioni di barra), con il vincolo di 15 pedine per lato e il vincolo di nessuna occupazione mista, e con le correzioni opportune per le configurazioni sovrapposte non valide. Questo numero è abbastanza grande da rendere impraticabile una soluzione per forza bruta via tabella di consultazione per il gioco completo; è abbastanza piccolo da permettere alle posizioni di sola corsa (quelle fuori contatto) database di bearoff completi.

I database di bearoff memorizzano le equity esatte per le posizioni di fase di corsa; GNU Backgammon genera e distribuisce i propri, ed eXtreme Gammon ha i suoi. Si costruiscono via programmazione dinamica sullo stato ricorsivo di bearoff.

Il pip count

Il pip count è la metrica fondamentale di ogni posizione di backgammon. È la somma, su tutte le pedine di un giocatore, dei pip che ciascuna pedina deve percorrere per raggiungere il vassoio di uscita. Formalmente:

$\text{Pip count} = \sum_{i=1}^{15} d_i$

dove $d_i$ è la distanza (in pip) dalla punta attuale della $i$-esima pedina al vassoio di uscita di quel giocatore.

Il pip count iniziale è 167 per ciascun giocatore:

$2 \times 24 + 5 \times 13 + 3 \times 8 + 5 \times 6$

$= 48 + 65 + 24 + 30 = 167$

Il lancio medio nel backgammon fa avanzare un giocatore di 8⅙ pip per turno (l'aspettativa sui 21 lanci distinti, ponderata con la convenzione dei doppi che li conta quattro volte ciascuno). Il numero atteso di turni per portare tutte le pedine a casa e farle uscire dalla posizione iniziale è quindi circa $167 / 8{,}17 \approx 20{,}4$ turni.

In una pura corsa, il pip count in vantaggio si traduce direttamente in una probabilità di vittoria. Sono state pubblicate diverse approssimazioni in forma chiusa. Le due più citate sono il Thorp Count e il Keith Count.

Il Thorp Count e il Keith Count

Il Thorp Count (Edward Thorp, 1978) parte dal pip count grezzo e lo corregge per le cose che un conteggio semplice ignora: aggiunge una penalità per ogni pedina ancora sulla tavola (più pedine significano più spreco in uscita), una penalità per le pedine già accumulate sulla punta 1 e un credito per ogni punta della tavola interna occupata; il conteggio corretto di chi è in vantaggio viene poi aumentato di un decimo prima di confrontare i due lati. È il confronto, non i pip grezzi, a decidere raddoppio, riraddoppio e accettazione.

Il Keith Count (Tom Keith) è un raffinamento successivo della stessa idea. Aggiunge al pip count per le pedine in eccesso sulle punte 1, 2 e 3 e per gli spazi vuoti sulle punte 4, 5 e 6 — esattamente le forme che sprecano pip in uscita — e di nuovo aumenta il conteggio di chi è in vantaggio di una frazione fissa prima del confronto. Il Keith Count è la formula manuale di equity di corsa raccomandata nel gioco competitivo moderno; i valori esatti delle correzioni e le soglie di decisione sono nelle formule pubblicate.

Per un'equity di corsa molto precisa i giocatori si affidano al database di bearoff di un motore, ma sia Thorp sia Keith restano strumenti mentali canonici.

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Equity di corsa e la regola 8-9-12

Le regole standard sul cubo in corsa si applicano quando entrambi i lati sono fuori contatto. La largamente citata regola 8-9-12 per chi è in testa in una corsa riassume decenni di analisi via rollout in tre soglie:

• Raddoppio iniziale: vantaggio di corsa di chi è in testa ≥ 8% del proprio pip count.
• Riraddoppio: vantaggio di corsa di chi è in testa ≥ 9% del proprio pip count.
• Rifiuto: vantaggio di corsa di chi è in testa superiore al 12% del proprio pip count — chi riceve dovrebbe rifiutare.

Queste soglie sono approssimazioni. Le tavole esatte di equity di corsa (Snowie, GNUbg, XG) le affinano posizione per posizione, tenendo conto di spreco, crossover e regolarità della struttura di bearoff.

Equity del cubo: il take point

Il singolo risultato più citato nella matematica del backgammon è il take point a cubo morto del 25%. Formalmente:

Per un giocatore a cui viene offerto il cubo al valore $C$, accettare e vincere vale $+2C$ punti e perdere costa $-2C$ punti; rifiutare costa $-C$ punti incondizionatamente. Ponendo il valore atteso dell'accettare uguale alla perdita del rifiutare:

$p \cdot (+2C) + (1-p) \cdot (-2C) = -C$ $2pC - 2C + 2pC = -C$ $4pC - 2C = -C$ $p = \frac{1}{4} = 25\%$

Quindi chi riceve dovrebbe accettare a ogni probabilità di vittoria $p \geq 25\%$, ignorando il valore del riraddoppio.

Con il vigorish del riraddoppio — il valore che chi riceve ricava dal poter riraddoppiare — il take point pratico scende a circa il 21-22% nella maggior parte delle posizioni. La riduzione esatta dipende dall'efficienza del cubo nei successivi punti di svolta e si calcola via rollout nell'analisi moderna dei motori.

Il corrispondente double point per chi raddoppia — l'equity alla quale raddoppiare è corretto — dipende dall'efficienza del cubo (timing) e dai gammon price, ed è trattato in dettaglio sulla pagina della match equity.

Match equity

Nel match play la semplice money equity lascia il posto alla match equity: la probabilità di vincere il match dalla posizione attuale, integrando l'esito della partita in corso con tutte le partite successive a tutti i punteggi raggiungibili. La match equity a ogni punteggio si calcola dalla tavola di match equity (MET), una tavola bidimensionale indicizzata dagli away-score dei due giocatori.

Lo standard moderno è la MET di Rockwell-Kazaross, riprodotta come nucleo 9×9 sulla pagina della match equity, con la tavola canonica 25×25 completa disponibile via GNU Backgammon.

Take point, double point e gammon price dipendono tutti dal punteggio, non solo dalle probabilità di vittoria della partita in corso. Una probabilità di vittoria del 22% che nel gioco a soldi è un rifiuto può essere un'accettazione netta a certi punteggi di match; una posizione vincente al 50% può essere «troppo buona per raddoppiare» ad altri.

Le formule di Janowski

La MET completa è esatta (entro la precisione del rollout con cui è derivata), ma scomoda da imparare a memoria. Le approssimazioni in forma chiusa in stile Janowski, derivate dal lavoro di Rick Janowski e dai raffinamenti successivi, offrono approssimazioni utili che combaciano con la tavola entro circa l'1-2% nella maggior parte delle celle. Servono due formule distinte: una per i normali punteggi pre-Crawford e una per i punteggi della partita di Crawford.

Pre-Crawford (entrambi i giocatori a ≥ 2-away, cubo in gioco):

$M = 0{,}5 + 0{,}87 \times \frac{D}{T + 6}$

Specifica per Crawford (un giocatore a 1-away, cubo tolto):

$M = 0{,}525 + 0{,}57 \times \frac{D}{T + 2}$

In entrambe, $D$ è il vantaggio di chi è in testa in punti (away-score di chi è in svantaggio meno away-score di chi è in vantaggio) e $T$ è l'away-score di chi è in svantaggio. La derivazione completa, l'esempio svolto e l'errore comune da evitare (usare l'away-score di chi è in vantaggio come $T$) sono sulla pagina della match equity.

Equity da rete neurale

I motori moderni non calcolano l'equity da formule in forma chiusa. Usano reti neurali addestrate che prendono un vettore posizione — di solito ~250 feature che codificano il numero di pedine per punta, la distanza al bearoff, l'esposizione a tiri diretti e indiretti, la struttura dei prime, le ancore, i builder e altro — e restituiscono un valore di equity o una distribuzione sugli esiti vittoria/gammon/backgammon.

La stirpe da TD-Gammon (Tesauro, 1992) attraverso Jellyfish, Snowie, GNU Backgammon, eXtreme Gammon (XG), BGBlitz e Wildbg è trattata sulla pagina Bot e IA. Lo standard di riferimento al 2026 sono i rollout di XG2, che combinano ricerca in avanti su più ply, valutazione delle foglie via rete neurale e campionamento Monte Carlo dei dadi all'orizzonte di troncamento.

Varianza

Una singola partita di backgammon ha una deviazione standard di circa 1,2 punti per partita sul punteggio risultante (gioco a soldi, senza Jacoby). Su un match a 7 punti la varianza si accumula e l'errore standard della misurazione dell'abilità è dell'ordine di 2,5-3,0 punti per match — il che significa che i singoli match brevi non separano in modo affidabile differenze piccole di abilità. Lo strumento standard di separazione è il Performance Rating (PR), che misura l'errore per mossa contro un bot di riferimento. Anche su un match intero il PR varia ancora di diversi punti; un PR stabile ha bisogno di molti match — qualche migliaio di decisioni — prima di separare i giocatori in modo affidabile. Vedi PR ed Elo.

Vedi anche

• Regola di Crawford — la sospensione del cubo nel match play.
• Bot e IA — la stirpe dei motori a reti neurali.
• Glossario — definizioni formali di pip count, take point, gammon price, MET.