Backgammonmatematik: sannolikhet, equity och kuben

Varför matematik spelar roll för en backgammonspelare

Backgammon är formellt ett stokastiskt nollsummespel för två spelare med fullständig information, med ofullständig equity-asymmetri under en justerbar insatshävstång. Den otympliga beskrivningen spelar roll eftersom varje led motsvarar en egen gren av spelets matematik:

• Två spelare, nollsumma. Vanlig spelteori gäller. Det finns alltid en väldefinierad optimal strategi för varje spelare i varje ställning. Equity bevaras mellan de två sidorna.
• Stokastiskt. De 36 lika sannolika utfallen av två sexsidiga tärningar lägger en sannolikhetsfördelning över dragen. De flesta ställningar tillåter flera lagliga drag per tärningsutfall.
• Fullständig information. Hela brädets tillstånd är synligt för båda spelarna. Det finns inga dolda kort, inga privata värden.
• Ofullständig equity-asymmetri under en justerbar insatshävstång. Dubbleringskuben förvandlar varje ställning till ett equity-beslut utan gräns och lägger ett helt andra spelteoretiskt problem ovanpå problemet att välja drag.

Den här sidan täcker den matematiska apparat som tävlingsspelare använder för att hantera det maskineriet: pip count, formler för equity i kapplöpningen, match equity-tabeller, Janowskis kubformel och de heuristiska genvägarna (Neil's Numbers) som komprimerar den formella backgammonmatematiken till huvudräkning vid brädet.

Antal ställningar och tillståndsrum

Antalet lagliga backgammonställningar är i storleksordningen $1{,}85 \times 10^{19}$ – beräkningsbart som antalet sätt att fördela 30 brickor över de spelbara platserna (24 fält, 2 brickfack, 2 platser på vallen) med villkoret 15 per sida och villkoret att ett fält inte kan ha blandad beläggning, med lämpliga korrigeringar för ogiltiga överlappande uppställningar. Talet är tillräckligt stort för att en brute force-lösning via tabelluppslagning ska vara ogenomförbar för hela spelet; det är tillräckligt litet för att rena kapplöpningsställningar (de ur kontakt) ska tillåta fullständiga utplockningsdatabaser.

Utplockningsdatabaser lagrar exakta equity-värden för ställningar i kapplöpningsfasen; GNU Backgammon genererar och levererar sina egna, och eXtreme Gammon har sina. De byggs med dynamisk programmering över det rekursiva utplockningstillståndet.

Pip count

Pip count är det grundläggande måttet på varje backgammonställning. Det är summan, över alla en spelares brickor, av de pip varje bricka måste färdas för att nå brickfacket. Formellt:

$\text{Pip count} = \sum_{i=1}^{15} d_i$

där $d_i$ är avståndet (i pip) från den $i$:te brickans aktuella fält till den spelarens brickfack.

Pip count vid start är 167 för varje spelare:

$2 \times 24 + 5 \times 13 + 3 \times 8 + 5 \times 6$

$= 48 + 65 + 24 + 30 = 167$

Det genomsnittliga kastet i backgammon flyttar en spelare 8⅙ pip per tur (väntevärdet över de 21 olika kasten, viktat enligt dubbelslagskonventionen som räknar varje dubbelslag fyra gånger). Det förväntade antalet turer för att få alla brickor hem och plocka ut dem från startuppställningen är därför ungefär $167 / 8{,}17 \approx 20{,}4$ turer.

I en ren kapplöpning översätts ledningen i pip count direkt till en vinstsannolikhet. Flera slutna approximationer har publicerats. De två mest citerade är Thorp Count och Keith Count.

Thorp Count och Keith Count

Thorp Count (Edward Thorp, 1978) utgår från den råa pip counten och justerar den för det en ren räkning bortser från: den lägger till ett straff för varje bricka som fortfarande är kvar på brädet (fler brickor betyder mer spill i utplockningen), ett straff för brickor som redan ligger på hög på fält 1, och ett tillgodohavande för varje besatt fält i boet; ledarens justerade tal räknas sedan upp med en tiondel innan de två sidorna jämförs. Det är jämförelsen, inte de råa pipen, som avgör dubbling, redubbling och accept.

Keith Count (Tom Keith) är en senare förfining av samma idé. Den lägger till pip count för överskottsbrickor på fält 1, 2 och 3 och för tomma platser på fält 4, 5 och 6 – exakt de former som slösar pip i utplockningen – och räknar återigen upp ledarens tal med en fast andel innan jämförelsen. Keith Count är den rekommenderade manuella formeln för equity i kapplöpningen i modernt tävlingsspel; de exakta justeringsvärdena och beslutströsklarna finns i de publicerade formlerna.

För mycket exakt equity i kapplöpningen förlitar sig spelare på en motors utplockningsdatabas, men både Thorp och Keith förblir kanoniska mentala verktyg.

Dörrarna öppnar snart — inbjudningslistan öppnar först.

Få din inbjudan

Equity i kapplöpningen och 8-9-12-regeln

De vanliga kubreglerna för kapplöpningar gäller när båda sidor är ur kontakt. Den ofta citerade 8-9-12-regeln för ledaren i en kapplöpning sammanfattar årtionden av rolloutanalys i tre trösklar:

• Första dubbling: ledarens försprång i kapplöpningen ≥ 8 % av den egna pip counten.
• Redubbling: ledarens försprång ≥ 9 % av den egna pip counten.
• Neka: ledarens försprång över 12 % av den egna pip counten – mottagaren bör neka.

De här trösklarna är approximationer. Exakta tabeller för equity i kapplöpningen (Snowie, GNUbg, XG) förfinar dem ställning för ställning, med hänsyn till spill, crossovers och hur jämn utplockningsstrukturen är.

Kubens equity: take point

Det enskilt mest citerade resultatet i backgammonmatematik är take point med död kub på 25 %. Formellt:

För en spelare som erbjuds en kub med värdet $C$ ger en accept $+2C$ poäng vid vinst och kostar $-2C$ poäng vid förlust; att neka kostar $-C$ poäng ovillkorligen. Sätt väntevärdet av att acceptera lika med förlusten av att neka:

$p \cdot (+2C) + (1-p) \cdot (-2C) = -C$ $2pC - 2C + 2pC = -C$ $4pC - 2C = -C$ $p = \frac{1}{4} = 25\%$

Mottagaren bör alltså acceptera vid varje vinstsannolikhet $p \geq 25\%$, om man bortser från redubblingsvärdet.

Med redubblingsvärde – mottagarens värde av att kunna redubbla – sjunker det praktiska take point till ungefär 21–22 % i de flesta ställningar. Den exakta minskningen beror på kubens effektivitet vid senare vändpunkter och beräknas med rollouts i modern motoranalys.

Motsvarande double point för dubblaren – den equity där dubbling är korrekt – beror på kubens effektivitet (timing) och gammonpriser, och behandlas i detalj på sidan om match equity.

Match equity

I matchspel ersätts den enkla pengaspels-equityn av match equity: sannolikheten att vinna matchen från den aktuella ställningen, där det aktuella partiets utfall vägs samman med alla efterföljande partier vid alla nåbara ställningar. Match equity vid varje ställning beräknas ur match equity-tabellen (MET), en tvådimensionell tabell indexerad efter båda spelarnas away-poäng.

Den moderna standarden är Rockwell-Kazaross MET, som återges som en 9×9-kärna på sidan om match equity, med hela den kanoniska 25×25-tabellen tillgänglig via GNU Backgammon.

Take point, double point och gammonpris beror alla på ställningen, inte bara på det aktuella partiets vinstchanser. En vinstsannolikhet på 22 % som är ett nekande i pengaspel kan vara en tydlig accept vid vissa matchställningar; en ställning med 50 % vinstchans kan vara "för bra för att dubbla" vid andra.

Janowski-formlerna

Hela MET är exakt (inom precisionen hos de rollouts den härletts ur) men otymplig att lära sig utantill. De slutna approximationerna i Janowskis stil, härledda ur Rick Janowskis arbete och senare förfiningar, ger användbara approximationer som träffar tabellen inom ungefär 1–2 % i de flesta celler. Två olika formler behövs – en för vanliga pre-Crawford-ställningar och en för Crawford-partiets ställningar.

Pre-Crawford (båda spelarna ≥ 2-away, kuben i spel):

$M = 0{,}5 + 0{,}87 \times \frac{D}{T + 6}$

Crawford-specifik (en spelare vid 1-away, kuben ur spel):

$M = 0{,}525 + 0{,}57 \times \frac{D}{T + 2}$

I båda är $D$ ledarens försprång i poäng (den underlägsnas away-poäng minus ledarens away-poäng) och $T$ är den underlägsnas away-poäng. Hela härledningen, det utarbetade exemplet och det vanliga misstaget att undvika (att använda ledarens away som $T$) finns på sidan om match equity.

Equity från neurala nätverk

Moderna motorer beräknar inte equity ur slutna formler. De använder tränade neurala nätverk som tar en ställningsvektor – typiskt ~250 features som kodar antalet brickor per fält, avstånd till utplockning, exponering för direkta och indirekta skott, primstruktur, ankare, builders och mer – och ger ett equity-värde eller en fördelning över utfallen vinst/gammon/backgammon.

Linjen från TD-Gammon (Tesauro, 1992) via Jellyfish, Snowie, GNU Backgammon, eXtreme Gammon (XG), BGBlitz och Wildbg täcks på sidan Botar & AI. Referensstandarden 2026 är XG2-rollouts, som kombinerar framåtsökning över flera plies med lövvärdering i neurala nätverk och Monte Carlo-sampling av tärningarna vid trunkeringshorisonten.

Varians

Ett enskilt parti backgammon har en standardavvikelse på ungefär 1,2 poäng per parti i det resulterande resultatet (pengaspel, utan Jacoby). Över en match till 7 poäng ackumuleras variansen, och standardfelet i färdighetsmätningen är i storleksordningen 2,5–3,0 poäng per match – vilket betyder att enskilda korta matcher inte tillförlitligt skiljer små skillnader i skicklighet åt. Standardverktyget för att skilja dem åt är Performance Rating (PR), som mäter fel per drag mot en referensbot. Även över en hel match varierar PR fortfarande med flera poäng; en stabil PR kräver många matcher – några tusen beslut – innan den tillförlitligt skiljer spelare åt. Se PR & Elo.

Se även

• Crawford-regeln – kubens avstängning i matchspel.
• Botar & AI – linjen av motorer med neurala nätverk.
• Ordlista – formella definitioner av pip count, take point, gammonpris, MET.