Tavlanın matematiği: olasılık, equity ve küp

Matematik bir tavla oyuncusu için neden önemlidir

Tavla, biçimsel olarak ayarlanabilir bir bahis kaldıracı altında, kusurlu equity asimetrisine sahip, tam bilgili, iki oyunculu, sıfır toplamlı bir stokastik oyundur. Bu hantal tanım önemlidir, çünkü her ibare oyunun matematiğinin ayrı bir koluna karşılık gelir:

• İki oyunculu sıfır toplamlı. Standart oyun kuramı geçerlidir. Her pozisyonda her oyuncu için her zaman iyi tanımlı bir en iyi strateji vardır. Equity iki taraf arasında korunur.
• Stokastik. İki altı yüzlü zarın eşit ağırlıklı 36 sonucu, hamleler üzerinde bir olasılık dağılımı getirir. Çoğu pozisyonda her zar sonucu için birden çok yasal oyun vardır.
• Tam bilgili. Tahtanın tüm durumu iki oyuncuya da açıktır. Gizli kart ya da özel değer yoktur.
• Ayarlanabilir bir bahis kaldıracı altında kusurlu equity asimetrisi. Katlama küpü her pozisyonu limitsiz bir equity kararına dönüştürür ve hamle seçimi probleminin üzerine tümüyle ikinci bir oyun kuramı problemi bindirir.

Bu sayfa, rekabetçi oyuncuların bu mekanizmayla başa çıkmak için kullandığı matematik aygıtını ele alır: pip sayıları, yarış equity formülleri, maç equity tabloları, Janowski küp formülü ve tavla matematiğini masa başında zihinden hesaplanabilir hale getiren sezgisel kısayollar (Neil's Numbers).

Pozisyon sayıları ve durum uzayı

Yasal tavla pozisyonlarının sayısı $1.85 \times 10^{19}$ mertebesindedir. Bu sayı, 30 pulun oynanabilir konumlara (24 hane, 2 pul toplama tepsisi, 2 bar konumu) dağıtılabileceği yolların sayısı olarak hesaplanır; burada her tarafa 15 pul sınırı ve karışık işgal yasağı geçerlidir, geçersiz çakışan dizilimler için de uygun düzeltmeler yapılır. Bu sayı, tüm oyunun tablo taramasıyla kaba kuvvetle çözülmesini olanaksız kılacak kadar büyüktür; öte yandan yalnızca yarış pozisyonlarının (temassız olanların) eksiksiz pul toplama veri tabanlarına sığacak kadar küçüktür.

Pul toplama veri tabanları, yarış evresindeki pozisyonların kesin equity'lerini saklar; GNU Backgammon kendi veri tabanını üretir ve dağıtır, eXtreme Gammon'ın da kendisininki vardır. Bu veri tabanları, özyinelemeli pul toplama durumu üzerinde dinamik programlamayla oluşturulur.

Pip sayıları

Pip sayısı, her tavla pozisyonunun temel ölçütüdür. Bir oyuncunun tüm pullarının, pul toplama tepsisine ulaşmak için kat etmesi gereken piplerin toplamıdır. Biçimsel olarak:

$\text{Pip count} = \sum_{i=1}^{15} d_i$

Burada $d_i$, $i$. pulun bulunduğu haneden o oyuncunun pul toplama tepsisine olan uzaklıktır (pip cinsinden).

Açılış pip sayısı her oyuncu için 167'dir:

$2 \times 24 + 5 \times 13 + 3 \times 8 + 5 \times 6$

$= 48 + 65 + 24 + 30 = 167$

Tavlada ortalama bir atış, oyuncuyu hamle başına 8⅙ pip ilerletir (çiftlerin dört kez sayıldığı kurala göre ağırlıklandırılmış 21 farklı atışın beklenen değeri). Açılış pozisyonundan tüm pulları eve getirip toplamak için beklenen hamle sayısı bu nedenle yaklaşık $167 / 8.17 \approx 20.4$'tür.

Saf bir yarışta, önde olan pip sayısı doğrudan bir kazanma olasılığına dönüşür. Yayımlanmış birkaç kapalı biçimli yaklaşım vardır. En çok anılan ikisi Thorp Count ve Keith Count'tur.

Thorp Count ve Keith Count

Thorp Count (Edward Thorp, 1978) ham pip sayısından yola çıkar ve düz bir sayımın göz ardı ettiği şeyler için düzeltme yapar: tahtada kalan her pul için bir ceza ekler (daha çok pul, pul toplamada daha çok israf demektir), 1. haneye yığılmış pullar için bir ceza ekler ve işgal edilen her iç saha hanesi için bir kredi tanır; ardından öndeki oyuncunun düzeltilmiş sayımı, iki taraf karşılaştırılmadan önce onda bir oranında şişirilir. Katlama, yeniden katlama ve kabul kararını ham pipler değil, bu karşılaştırma belirler.

Keith Count (Tom Keith), aynı fikrin sonradan geliştirilmiş bir inceltmesidir. Pul toplamada tam da pip israf eden dizilimler olan 1., 2. ve 3. hanelerdeki fazla pullar ile 4., 5. ve 6. hanelerdeki boş yerler için pip sayısına ekleme yapar ve karşılaştırmadan önce öndeki oyuncunun sayımını yine sabit bir oranda şişirir. Keith Count, modern rekabetçi oyunda önerilen elle yarış equity formülüdür; kesin düzeltme değerleri ve karar eşikleri yayımlanmış formüllerde yer alır.

Çok hassas yarış equity'si için oyuncular bir motorun pul toplama veri tabanına güvenir, ancak Thorp da Keith de zihinsel araçlar olarak temel kaynak olmayı sürdürür.

Kapılar yakında açılıyor — önce davet listesi açılıyor.

Davetiyeni al

Yarış equity'si ve 8-9-12 kuralı

Standart yarışta küp karar kuralları, iki taraf da temastan çıktığında geçerlidir. Yarışta öndeki oyuncu için sıkça anılan 8-9-12 kuralı, onlarca yıllık rollout analizini üç eşikte özetler:

• İlk katlama: Öndeki oyuncunun yarış avantajı ≥ kendi pip sayısının %8'i.
• Yeniden katlama: Öndeki oyuncunun yarış avantajı ≥ kendi pip sayısının %9'u.
• Reddet: Öndeki oyuncunun yarış avantajı kendi pip sayısının %12'sinin üzerinde - karşı taraf reddetmelidir.

Bu eşikler yaklaşık değerlerdir. Kesin yarış equity tabloları (Snowie, GNUbg, XG) bunları israfı, crossover'ları ve pul toplama yapısının düzgünlüğünü hesaba katarak pozisyon pozisyon inceltir.

Küp equity'si: take point

Tavla matematiğinde en çok anılan tek sonuç, %25'lik ölü küp take point'idir. Biçimsel olarak:

$C$ değerinde bir küp teklif edilen oyuncu için, kabul etmek kazanırsa $+2C$ puan, kaybederse $-2C$ puan getirir; reddetmek ise koşulsuz $-C$ puana mal olur. Kabul etmenin beklenen değerini reddetmenin kaybına eşitlersek:

$p \cdot (+2C) + (1-p) \cdot (-2C) = -C$ $2pC - 2C + 2pC = -C$ $4pC - 2C = -C$ $p = \frac{1}{4} = 25\%$

Dolayısıyla karşı taraf, yeniden katlama değerini yok sayarsa, kazanma olasılığı $p \geq 25\%$ olan her durumda kabul etmelidir.

Recube vigorish ile - yani karşı tarafın yeniden katlayabilmesinden doğan değerle - uygulamadaki take point çoğu pozisyonda yaklaşık %21-22'ye düşer. Kesin düşüş, sonraki hamle noktalarındaki küp verimliliğine bağlıdır ve modern motor analizinde rollout ile hesaplanır.

Katlayan taraf için buna karşılık gelen katlama noktası - yani katlamanın doğru olduğu equity - küp verimliliğine (timing) ve mars değerlerine bağlıdır; ayrıntılı olarak maç equity sayfasında ele alınır.

Maç equity'si

Maç oyununda basit para equity'sinin yerini maç equity'si alır: mevcut pozisyondan maçı kazanma olasılığı; bu, mevcut oyunun sonucunu ulaşılabilir tüm skorlardaki sonraki tüm oyunlarla bütünleştirir. Herhangi bir skordaki maç equity'si, iki oyuncunun away skorlarıyla indekslenen iki boyutlu bir tablo olan Maç Equity Tablosundan (MET) hesaplanır.

Modern standart, maç equity sayfasında 9×9'luk bir çekirdek olarak yer alan Rockwell-Kazaross MET'idir; 25×25'lik tam kanonik tabloya GNU Backgammon üzerinden ulaşılabilir.

Take point, katlama noktası ve mars değerinin hepsi yalnızca mevcut oyunun kazanma şansına değil, skora da bağlıdır. Para oyununda reddedilecek %22'lik bir kazanma olasılığı bazı maç skorlarında açık bir kabul olabilir; %50'lik bir kazanma pozisyonu da bazı skorlarda "katlamak için fazla iyi" olabilir.

Janowski formülleri

MET'in tamamı kesindir (türetilmesinde kullanılan rollout hassasiyeti dahilinde) ama ezberlemesi güçtür. Rick Janowski'nin çalışmasından ve sonraki inceltmelerden türetilen Janowski tarzı kapalı biçimli yaklaşımlar, tabloya çoğu hücrede yaklaşık %1-2 içinde uyan yararlı yaklaşımlar sunar. İki ayrı formül gerekir: biri normal Crawford öncesi skorlar için, biri Crawford oyunu skorları için.

Crawford öncesi (iki oyuncu da ≥ 2-away, küp oyunda):

$M = 0.5 + 0.87 \times \frac{D}{T + 6}$

Crawford'a özgü (bir oyuncu 1-away, küp kaldırılmış):

$M = 0.525 + 0.57 \times \frac{D}{T + 2}$

İkisinde de $D$, öndeki oyuncunun puan farkıdır (geride olanın away skoru eksi öndekinin away skoru), $T$ ise geride olanın away skorudur. Tam türetme, çözümlü örnek ve kaçınılması gereken yaygın hata ($T$ yerine öndeki oyuncunun away skorunu kullanmak) maç equity sayfasında yer alır.

Sinir ağı equity'si

Modern motorlar equity'yi kapalı biçimli formüllerle hesaplamaz. Bir pozisyon vektörünü - tipik olarak hane başına pul sayılarını, pul toplamaya uzaklığı, doğrudan ve dolaylı atışlara maruziyeti, prime yapısını, çapaları, builder'ları ve daha fazlasını kodlayan yaklaşık 250 özelliği - girdi olarak alan ve bir equity değeri ya da kazanma/mars/katmerli mars sonuçları üzerinde bir dağılım üreten eğitilmiş yapay sinir ağları kullanırlar.

TD-Gammon'dan (Tesauro, 1992) Jellyfish'e, Snowie'ye, GNU Backgammon'a, eXtreme Gammon'a (XG), BGBlitz'e ve Wildbg'ye uzanan soy Bot ve yapay zeka sayfasında ele alınır. 2026 itibarıyla referans standardı, birkaç hamle ileriye arama ile kesme ufkunda Monte Carlo zar örneklemesi ve yaprak düğümlerde sinir ağı değerlendirmesini birleştiren XG2 rollout'larıdır.

Varyans

Tek bir tavla oyununun, ortaya çıkan skor üzerinde oyun başına yaklaşık 1,2 puanlık standart sapması vardır (para oyunu, Jacoby yok). 7 puanlık bir maç boyunca varyans birikir ve beceri ölçümünün standart hatası maç başına 2,5-3,0 puan mertebesindedir - yani tek tek kısa maçlar küçük beceri farklarını güvenilir biçimde ayırt etmez. Standart ayırt etme aracı, bir referans bota göre hamle başına hatayı ölçen Performance Rating (PR)'dır. Tam bir maç boyunca bile PR hâlâ birkaç puan oynar; istikrarlı bir PR için, oyuncuları güvenilir biçimde ayırt edebilmeden önce çok sayıda maç - birkaç bin karar - gerekir. Bkz. PR ve Elo.

Ayrıca bak

• Crawford kuralı - maç oyununda küpün askıya alınması.
• Bot ve yapay zeka - yapay sinir ağı motorlarının soyu.
• Tavla terimleri - pip sayısı, take point, mars değeri, MET için resmî tanımlar.