Crawford-reglen

Et matchpoint med konsekvenser

Crawford-reglen er den enkeltstående mest betydningsfulde tilpasning af dobleterningen til matchspil. Den blev indført af John R. Crawford i slutningen af 1940'erne og nedskrevet i hans og Oswald Jacobys The Backgammon Book (1970), og den styrer brugen af terningen i matchens kritiske slutfase – nærmere bestemt i det parti, hvor den ene spiller først når en score ét point under matchens mål. Reglen er universelt vedtaget i international turneringsbackgammon.

Denne side dækker den formelle definition, equity-argumentet for, hvorfor reglen findes, og den almindelige spilteori for post-Crawford-spil – herunder den bagudliggende spillers nærmest obligatoriske aggressive dobling og de »free drop«-vinduer, hvor den førende har en usædvanlig mulighed som modtager af terningen.

Den formelle definition

I en match til $N$ point er Crawford-partiet det parti, der spilles umiddelbart efter, at en af spillerne først har nået en score på $N - 1$. I det ene parti gælder:

• Dobleterningen er ude af spil.
• Ingen af spillerne må tilbyde en dobling.
• Partiet afregnes til sin naturlige værdi: 1 point for en almindelig sejr, 2 for en gammon, 3 for en backgammon.

I hvert efterfølgende parti af samme match – post-Crawford-partierne – vender terningen tilbage til de almindelige regler for matchspil. Hver af spillerne må tilbyde en dobling i sin tur, før han ruller, med forbehold for ejerskab.

Reglen træder i kraft præcis én gang pr. match. Når Crawford-partiet er slut, gælder reglen ikke igen, selv hvis scoren senere igen bliver sådan, at den ene spiller er ét point fra at vinde.

Hvorfor reglen findes

Crawford-reglen blev indført for at udbedre en bestemt spilteoretisk fejl i umodificeret matchspil. Uden den ville en spiller, der er bagud i en match, have en garanteret korrekt strategi, der i praksis fjerner terningens betydning i det afgørende øjeblik.

Tag en match til 7 point. Antag, at den førende har nået 6 point – 1-away/7-away (scoren er 6-0: den førende mangler 1 point, den bagudliggende mangler 7). Uden Crawford-reglen:

1. Den bagudliggende skal vinde alle resterende partier for at vinde matchen. Ethvert tab koster den bagudliggende matchen uanset terningens værdi, så det koster ham intet at doble – og en sejr til værdien 2 bringer ham dobbelt så langt.
2. Den bagudliggende bør derfor doble straks, ved første lovlige lejlighed i hvert parti, før han ruller.
3. Den førende har en klar take/pas-beslutning, der alene bygger på hans vinderchance fra stillingen efter doblingen. Almindelige doblingsbeslutninger, market gain og nuancer i timing forsvinder.

I praksis bliver hvert parti fra den score til matchens slutning en række automatiske partier til 2 point. Terningen er reduceret til et signal uden information. Reglen er specifikt designet til at fjerne denne degenerering og bevare terningens normale informations- og strategiindhold i matchens mest kritiske parti.

Ved at sætte terningen ud af spil i ét parti – Crawford-partiet – fjerner reglen den bagudliggendes automatiske dobling netop i det øjeblik, hvor det ville betyde mest: det parti, hvor den førende kan afgøre matchen.

Equity-argumentet

Det matematiske grundlag for reglen er asymmetrien i equity ved scoren $N-1$ mod $k$-away, hvor $k > 1$.

Lad $M(a, b)$ betegne match equity for den spiller, hvis away-score er $a$, når modstanderen er $b$-away. Fra en match equity-tabel som Rockwell-Kazaross-MET:

$M(1, 1) = 50\,\%, \quad M(1, 2) \approx 68\,\%, \quad M(1, 3) \approx 75\,\%, \quad M(1, 4) \approx 81\,\%$

Den førende ved 1-away vinder forholdsvis lidt match equity ved at vinde til 2× værdi i stedet for 1× – men den bagudliggende ved $k$-away med stort $k$ vinder uforholdsmæssigt meget ved at doble. Ved at tage terningen ud af spil i selve Crawford-partiet forhindrer reglen den bagudliggende i at trække den uforholdsmæssige værdi ud på det værst tænkelige tidspunkt for terningens informationsrolle.

Post-Crawford-spil

Når Crawford-partiet er slut, er alle efterfølgende partier post-Crawford-partier. Terningen vender tilbage. Scoren er nu (den førende 1-away, den bagudliggende $k$-away) for et $k \geq 2$ ved begyndelsen af hvert post-Crawford-parti.

Den bagudliggende spillers næsten universelle terningstrategi i post-Crawford-partier er: dobl ved første lovlige lejlighed, før du ruller, i den allerførste tur.

Grunden er den samme asymmetri, som Crawford-reglen var designet til at dæmpe i selve Crawford-partiet: den bagudliggende taber matchen ved enhver terningværdi, så doblingen er gratis; en sejr til værdien 2 bringer den bagudliggende dobbelt så langt som en sejr til værdien 1. Nærmere bestemt:

• Den bagudliggende er $k$-away. For at vinde matchen skal han have $k$ point mere – en række sejre til terningværdi 1, eller omkring halvt så mange til terningværdi 2 (endnu færre med gammons). Hvert parti, han vinder, er et skridt mod at lukke hullet. En enkelt sejr til terningværdi 1 kan ikke lukke hullet.
• En sejr til terningværdi 2 kan lukke hullet helt (ved $k = 2$, dvs. 2-away mod 1-away) eller mindske det med 2 point i stedet for 1.

Den bagudliggende dobler derfor straks. Den førendes beslutning er så et rent take/pas ud fra vinderchancerne og den nye forankring i MET, der følger.

Free drop

Der er én finesse i post-Crawford-spil, der giver den førende en usædvanlig strategisk mulighed: free drop.

Ved visse post-Crawford-scorer koster det den førende nul match equity at passe den bagudliggendes dobling i første tur, og det kan endda give en lille gevinst. Mekanikken:

• Antag, at scoren er den førende 1-away, den bagudliggende 2-away (dvs. den bagudliggende mangler 2 point for at vinde, den førende mangler 1).
• Den bagudliggende dobler til 2 i første tur.
• Hvis den førende passer, taber han 1 point. Ny score: den førende 1-away, den bagudliggende 1-away. Det er en MET-stilling på 50 % (»double match point« eller DMP).
• Hvis den førende tager, spiller han et parti til 2 point fra en omtrent lige equity. Vinder han partiet til 2 point, vinder han matchen. Taber han partiet til 2 point, har han tabt 2 point → scoren er den førende 1-away, den bagudliggende 0 (vinder matchen).

I nogle stillinger koster det at passe stort set nul equity – den førende står omtrent lige så godt ved at passe til DMP som ved at tage og spille det volatile parti med terningen på 2. Det er free drop-vinduet. Dygtige matchspillere udnytter det ved at passe den bagudliggendes dobling i første tur ved bestemte scorer, selv når taket matematisk er på grænsen, især når stillingen selv har strukturelle ulemper.

Free drop-vinduet afhænger af den konkrete score og af gammon-priserne. Moderne computeranalyse udpeger de præcise MET-celler, hvor free drop er korrekt, forkert eller neutral. At lære de celler udenad er en del af den almindelige turneringsforberedelse. Se siden om match equity for den underliggende tabel.

Hvornår skal man doble i backgammon – praktisk oversigt

Sættes reglerne ovenfor sammen, får man en praktisk doblingsguide:

Det komprimerer hele matchspillets terningehandling i slutfasen til et lille antal beslutninger, hvor den væsentligste nuance er forbeholdt free drop og justeringerne for gammon-pris ved bestemte scorer.

Historisk note

Reglens navn bevarer John R. Crawfords bidrag til backgammon-teorien i midten af det 20. århundrede. Crawford var en af tidens stærkeste konkurrencespillere, og hans samarbejde med Oswald Jacoby om The Backgammon Book (1970) var den mest indflydelsesrige enkelttekst om terningstrategi indtil Bill Roberties Advanced Backgammon (1991). Reglen har været en del af turneringsreglerne siden de første internationale turneringer arrangeret af prins Alexis Obolensky – Bahamas i 1964 og det første verdensmesterskab, Las Vegas, i 1967.

Se også

• Regler – det fulde standardregelsæt.
• Jacoby-reglen – modstykket i pengespil, der styrer gammons.
• Ordliste – formelle definitioner af Crawford-parti, post-Crawford, free drop, DMP.
• Hvordan spiller man backgammon – begynderguiden: reglerne i almindeligt sprog på et kvarter.