La règle de Crawford

Un point de match aux conséquences

La règle de Crawford est l'adaptation la plus lourde de conséquences du videau au jeu en match. Introduite par John R. Crawford à la fin des années 1940 et codifiée dans The Backgammon Book (1970), qu'il a écrit avec Oswald Jacoby, elle régit l'usage du videau dans la phase finale critique d'un match — précisément dans la partie où un joueur atteint pour la première fois un score à un point de la cible du match. La règle est universellement adoptée dans le backgammon international de tournoi.

Cette page couvre la définition formelle, l'argument d'equity qui explique pourquoi la règle existe, et la théorie des jeux standard du jeu post-Crawford — y compris le double agressif quasi obligatoire du joueur en retard et les fenêtres de « free drop » où le leader dispose d'une option inhabituelle en recevant le videau.

La définition formelle

Dans un match en $N$ points, la partie de Crawford est la partie jouée immédiatement après que l'un des joueurs a atteint pour la première fois un score de $N - 1$. Dans cette seule partie :

• Le videau est retiré du jeu.
• Aucun joueur ne peut proposer de double.
• La partie se règle à sa valeur naturelle : 1 point pour une victoire simple, 2 pour un gammon, 3 pour un backgammon.

Dans toutes les parties suivantes du même match — les parties post-Crawford — le videau revient aux règles standard du jeu en match. Chaque joueur peut proposer un double à son tour, avant de lancer, sous réserve de la propriété du videau.

La règle s'applique exactement une fois par match. Une fois la partie de Crawford terminée, la règle ne s'applique plus, même si le score revient plus tard à une configuration où un joueur est de nouveau à un point de la victoire.

Pourquoi la règle existe

La règle de Crawford a été introduite pour corriger un défaut précis de théorie des jeux dans le jeu en match non modifié. Sans elle, un joueur mené au score disposerait d'une stratégie garantie correcte qui vide en pratique le videau de son sens au moment critique.

Prenons un match en 7 points. Supposons que le leader ait atteint 6 points — 1-away/7-away (le score est de 6-0 : le leader a besoin d'un point de plus, le retardataire de 7). Sans la règle de Crawford :

1. Le retardataire doit gagner toutes les parties restantes pour gagner le match. Toute défaite lui coûte le match quelle que soit la valeur du videau, donc doubler ne lui coûte rien — et une victoire à la valeur 2 le fait avancer deux fois plus.
2. Le retardataire doit donc doubler immédiatement, à la première occasion légale de chaque partie, avant de lancer.
3. Le leader a une décision claire d'acceptation ou de passe, fondée uniquement sur sa probabilité de victoire depuis la position après le double. Les actions de videau standard, le gain de marché et les nuances de timing disparaissent.

En pratique, chaque partie à partir de ce score et jusqu'à la fin du match devient une suite de parties automatiques à 2 points. Le videau s'est réduit à un signal sans information. La règle a été conçue précisément pour supprimer cette dégénérescence et préserver le contenu informationnel et stratégique normal du videau dans la partie la plus critique du match.

En suspendant le videau pendant une partie — la partie de Crawford — la règle élimine l'exploitation du double automatique par le retardataire exactement au moment où elle compterait le plus : la partie où le leader peut conclure.

L'argument d'equity

Le raisonnement mathématique en faveur de la règle repose sur l'asymétrie d'equity au score $N-1$ contre $k$-away, avec $k > 1$.

Soit $M(a, b)$ la match equity du joueur dont l'away-score est $a$ quand l'adversaire est à $b$-away. D'après une table de match equity comme la MET de Rockwell-Kazaross :

$M(1, 1) = 50\%, \quad M(1, 2) \approx 68\%, \quad M(1, 3) \approx 75\%, \quad M(1, 4) \approx 81\%$

Le leader à 1-away gagne relativement peu de match equity en gagnant à la valeur 2 plutôt qu'à la valeur 1 — mais le retardataire à $k$-away, avec $k$ grand, gagne de façon disproportionnée en doublant. En retirant le videau du jeu dans la partie de Crawford elle-même, la règle empêche le retardataire d'extraire cette valeur disproportionnée au pire moment possible pour le rôle informationnel du videau.

Le jeu post-Crawford

Une fois la partie de Crawford terminée, toutes les parties suivantes sont des parties post-Crawford. Le videau revient. Le score est désormais (leader 1-away, retardataire $k$-away) pour un certain $k \geq 2$ au début de chaque partie post-Crawford.

La stratégie de videau quasi universelle du joueur en retard dans les parties post-Crawford est : doubler à la première occasion légale, avant de lancer, dès le tout premier tour.

La raison est la même asymétrie que la règle de Crawford a été conçue pour supprimer dans la partie de Crawford elle-même : le retardataire perd le match à n'importe quelle valeur du videau, donc le double est gratuit ; une victoire à la valeur 2 le fait avancer deux fois plus qu'une victoire à la valeur 1. Précisément :

• Le retardataire est à $k$-away. Pour gagner le match, il lui faut $k$ points de plus — une série de victoires à la valeur 1, ou environ moitié moins à la valeur 2 (moins encore avec des gammons). Chaque partie gagnée est un pas vers la réduction de l'écart. Une seule victoire à la valeur 1 ne peut pas combler l'écart.
• Une victoire à la valeur 2 peut combler l'écart entièrement (si $k = 2$, c'est-à-dire 2-away contre 1-away) ou le réduire de 2 points au lieu de 1.

Le retardataire double donc immédiatement. La décision du leader est alors un pur take ou passe, fondé sur les chances de victoire et sur le nouveau point d'ancrage dans la MET qui en résulte.

Le free drop

Il y a une subtilité dans le jeu post-Crawford qui crée une option stratégique inhabituelle pour le leader : le free drop.

À certains scores post-Crawford, passer sur le double du premier tour du retardataire ne coûte au leader aucune match equity, et peut même en gagner une infime quantité. La mécanique :

• Supposons le score leader 1-away, retardataire 2-away (le retardataire a besoin de 2 points de plus pour gagner, le leader de 1).
• Le retardataire double à 2 au premier tour.
• Si le leader passe, il perd 1 point. Nouveau score : leader 1-away, retardataire 1-away. C'est une position de MET à 50 % (le « double match point », ou DMP).
• Si le leader accepte, il joue une partie à 2 points depuis une equity à peu près égale. Gagner la partie à 2 points gagne le match. Perdre la partie à 2 points signifie que le leader a perdu 2 points → score leader 1-away, retardataire 0 (il gagne le match).

Dans certaines positions, passer ne perd pratiquement aucune equity — le leader est à peu près aussi bien en passant vers le DMP qu'en acceptant et en jouant la partie à forte volatilité avec le videau à 2. C'est la fenêtre du free drop. Les joueurs de match expérimentés l'exploitent en passant sur le double du premier tour du retardataire à certaines configurations de score, même quand le take est mathématiquement limite, en particulier quand la position elle-même présente des désavantages structurels.

La fenêtre du free drop dépend du score précis et des gammon prices. L'analyse moderne par ordinateur identifie les cellules exactes de la MET où le free drop est correct, incorrect ou neutre. Mémoriser ces cellules fait partie de la préparation standard en tournoi. Voir la page de match equity pour la table sous-jacente.

Quand doubler au backgammon — résumé pratique

En combinant les règles ci-dessus, on obtient un guide pratique du double :

Cela condense l'ensemble de l'action du videau en fin de match en un petit nombre de décisions, la nuance principale étant réservée au free drop et aux ajustements de gammon price à certains scores.

Note historique

Le nom de la règle conserve la contribution de John R. Crawford à la théorie du backgammon du milieu du XXe siècle. Crawford était l'un des joueurs de compétition les plus forts de son époque, et sa collaboration avec Oswald Jacoby sur The Backgammon Book (1970) a été le texte le plus influent sur la stratégie du videau jusqu'à Advanced Backgammon (1991) de Bill Robertie. La règle fait partie du règlement de tournoi depuis les premiers tournois internationaux organisés par le prince Alexis Obolensky — les Bahamas en 1964 et le premier championnat du monde, à Las Vegas, en 1967.

Voir aussi

• Règles — l'ensemble des règles standard.
• Règle de Jacoby — la contrepartie en partie libre, qui régit les gammons.
• Glossaire — les définitions formelles de partie de Crawford, post-Crawford, free drop, DMP.
• Comment jouer au backgammon — le guide du débutant : les règles en langage clair, en un quart d'heure.